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coefficients indéterminés

Posté par os2 (invité) 12-06-05 à 07:03

salut

j'emploi ici la méthode des coefficients indéterminés pour trouver une solution particulière

y''+2y'+5y=e^(-x) cos(2x)

on trouve les racines: -1-2i, -1+2i

le candidat

yp=Ae^(-t)*cos(2t)+Be^(-t)*sin(2t)

yp'' + 2yp' + 5yp  n'est pas égale à e^(-t)*cos(2t)
on multiplit yp par t

donc

yp=A*t*e^(-t)*cos(2t)+B*t*e^(-t)*sin(2t)

pour yp'' + 2yp' + 5yp

on trouve

(4B * cos(2t)) /e^t  - (4A*sin(2t)) /e^t = e^(-t) cos(2t)

b=1/4 et a=0

quelqu'un peut confirmer

merci

Posté par
Nightmarere : coefficients indéterminés 12-06-05 à 11:59

Bonjour

Il y a un probléme dans ton résultat , car en prenant 3$\rm y_{p}(t)=\frac{1}{4}e^{-t}sin(2t)
je trouve que :
3$\rm y_{p}''+2y_{p}'+5y_{p}=0
En effet :
3$\rm y_{p}''(t)=e^{-x}sin(2x)-\frac{3}{4}cos(2x)
3$\rm 2y_{p}'(t)=-e^{-x}sin(2x)-\frac{1}{2}e^{-x}cos(2x)
3$\rm 5y_{p}=\frac{5}{4}e^{-x}cos(2x)

En additionant on trouve bien 0


Jord

Posté par
soucoure : coefficients indéterminés 12-06-05 à 13:09

BOnjour, pourquoi ne pas dire que g(x)=h(x)f(x) est solution de l'équation différentielle et on posse f(x) solution particulier de l'ESSM ?

d'où f(x)=e^{(-1+2i)x}

Ainsi, g''(x)e^{(-1+2i)x}+g'(x)\[2(-2+i)e^{(-1+2i)x}+\underbrace{2}_{=\ a}e^{(-1+2i)x}\]=e^{-x}\cos(2x)

e^{-x}\cos(2x)=\frac{1}{\:2\:}\(e^{(-1+2i)x}+e^{(-x-2i)x}\)

Je vais faire ça sur un brouillon parce que ça comme à se compliquer.


Posté par
soucoure : coefficients indéterminés 12-06-05 à 13:24

Bon, j'ai mis un x en trop dans la dernière exponentielle.

g''(x)+2(-1+i)g'(x)=\frac{1}{\:2\:}\(1+e^{-4ix}\)

Ensuite on a g'(x)=e^{2(1-i)x}\int{\frac{1}{\:2\:}\(1+e^{-4ix}\)e^{2(-1+i)x}dx

g'(x)=\frac{1}{\:2\:}e^{2(1-i)x}\int{\(e^{2(-1+i)x}+e^{(-2-2i)x}\)x}dx

g'(x)=\frac{1}{\:2\:}e^{2(1-i)x}\(\frac{1}{-2+2i}e^{2(-1+i)x}+\frac{1}{-2-2i}e^{2(-1-i)x}+Cste\)

g'(x)=\frac{1}{-4+4i}+\frac{1}{-4-4i}e^{-4ix}+Cste.e^{2(1-i)x}

à suivre...

Posté par
soucoure : coefficients indéterminés 12-06-05 à 13:32

Aie mais n'importe quoi que j'ai fait, enfait c'est h'(x) et non pas g'(x) !

donc h(x)=\frac{1}{-4+4i}x+\frac{1}{-16+16i}e^{-4ix}+C_1e^{2(1-i)x}+C_2

Je crois qu'il y a un truc qui ne tourne pas rond... j' je j'abandonne.


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