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Coercivité

Posté par
Crei 27-03-24 à 17:01

Bonjour, merci de bien vouloir m'aider avec cet exercice.
On muni de \R^n de sa norme euclidienne canonique ||.||. Soit f \in C^1(\R^n,\R) tel que:
\forall x=(x_1,...,x_n)\in\R , \sum_{k=1}^{n}{x_k\frac{\partial f}{\partial x_k}(x)}\geq 1.
Montrer que f est coercive.

Posté par
carpediemre : Coercivité 27-03-24 à 18:59

salut

qu'est-ce qu'une fonction coercive ?

Posté par
Creire : Coercivité 27-03-24 à 19:14

carpediem @ 27-03-2024 à 18:59

salut

qu'est-ce qu'une fonction coercive ?
une fonction qui est infini à l'infini.
\lim_{||x||->infinty}f(x)=infinity

Posté par
carpediemre : Coercivité 27-03-24 à 21:14

peut-être à partir du TAF : pour tout réel t (positif) et vecteur v non nul de R^n il existe un vecteur u de ]x, x + v[

f(x + v) = f(x) + D_v(u)

voir

Posté par
Creire : Coercivité 16-04-24 à 11:59

g(t)=f(tx)
g'(t)=\sum_{k=1}^{n}{\frac{\partial (tx_k)}{\partial t}\frac{\partial f(tx)}{\partial x_k}}
g'(t)=\sum_{k=1}^{n}{x_k\frac{\partial f(tx)}{\partial x_k}}
tg'(t)=\sum_{k=1}^{n}{tx_k\frac{\partial f(tx)}{\partial x_k}}
comme  \forall x \in\R^n,\sum_{k=1}^{n}{x_k\frac{\partial f(x)}{\partial x_k}}\geq 1
alors pour tx\in\R^n
tg'(t)\geq 1
g'(t)\geq \frac{1}{t}
\sum_{k=1}^{n}{x_k\frac{\partial f(tx)}{\partial x_k}}\geq \frac{1}{t}
$$\nabla f(tx)$$.x\geq \frac{1}{t}
\int_{1}^{\lVert p\rVert}{$$\nabla f(tx)$$.x}\geq \ln(\lVert p \rVert),p\in\R^n
f({\lVert px\rVert})-f({\lVert x\rVert})\geq ln({\lVert p\rVert})
f continue, elle est bornée sur tout compact en particulier sur la sphère unité
je reviens completer svp


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