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Coin d'arrêt d'une fonction quelconque

Posté par
RiouT 11-03-25 à 09:12

Bonjour à tous et à toutes,

J'ai une question pour vous et j'aimerais avoir votre avis sur le sujet.

Soit f une fonction de R2 dans R et C^{infini} les lignes de courant converge vers une courbe L, sans jamais la dépasser (un peu comme dans un champ à Laplacien nul). Cette courbe L peut être appelée "coin d'arrêt". Ma question c'est existe-il une expression analytique de L en fonction uniquement de f et de ses dérivées successives ?

Merci à vous par avance si vous avez des idées à partager

Posté par
GBZMre : Coin d'arrêt d'une fonction quelconque 11-03-25 à 11:43

Bonjour,
Qu'appelles-tu "lignes de courant" de la fonction f ? Les trajectoires du gradient ? Ta définition de L ne m'est pas non plus très claire.
Pourrais-tu donner un exemple ? Cela aiderait à comprendre ton problème.

Posté par
RiouTre : Coin d'arrêt d'une fonction quelconque 11-03-25 à 14:11

Bonjour,

Merci pour votre réponse ! Oui pour les lignes de courant j'entends les lignes tangeantes aux vecteurs vitesse.

Pour L, disons qu'il s'agit d'une courbe vers laquelle les lignes de courant convergent sans jamais la dépasser. Un peu comme une crête de montagne qui sépare deux flancs de montagne et si l'on décide de grimper selon la direction de plus forte pente on ne dépassera jamais la crête et on restera à son voisinnage dans un même flanc de montagne.

En terme d'exemple en voilà un analytique issue du docteur BOUKHRIS Lahouari :

Soit f : C dans C tel que f(z)=mz^{2}.
Le vecteur vitesse se définit ainsi en coordonnées cylindriques :
\overrightarrow{V}=\begin{matrix} \\ V_{r} = 2mr^{2}cos(2\theta) \\ \\ V_{\theta} = -2mr^{2}sin(2\theta) \\ \end{matrix}

Sur l'image jointe on voit en rouge avec des flèches les lignes de courant, en bleu c'est la ligne L dont je parle qui est un coin d'arrêt.
Bien sûr ce n'est qu'un exemple. Ici les lignes de courant semblent émaner de l'axe y et converger vers celui x, ce n'est pas nécessairement le cas pour une fonction quelconque possédant une ligne/coin d'arrêt.


J'espère avoir été plus clair. N'hésitez pas si ce n'est pas le cas.

Merci par avance.

Coin d\'arrêt d\'une fonction quelconque

Posté par
GBZMre : Coin d'arrêt d'une fonction quelconque 11-03-25 à 15:38

Ça éclaircit, mais il y a  pas mal de problèmes dans ce que tu écris. Tu parlais dans ton premier message d'une fonction de {\mathbb R}^2 dans \mathbb R, or là tu as une fonction de \mathbb C dans \mathbb C. Et ta description du "vecteur vitesse " ne va visiblement pas.
Sur l'image, je comprends que tu considère la fonction (x,y)\mapsto m(x^2-y^2) (les lignes de niveau sont les branches d'hyperbole dessinées en pointillés rouges), de gradient \begin{pmatrix} 2mx\\-2my\end{pmatrix}. Les trajectoires du gradient sont bien les branches d'hyperboles xy=\text{const.} dessinées en rouge.  Il y a un point fixe qui est l'origine, et les trajectoires qui partent du point fixe ou y arrivent (en temps infini) sont appelées séparatrices.
Tu pourras trouver sur la toile des informations sur les séparatrices d'un champ de vecteurs plan.

Posté par
RiouTre : Coin d'arrêt d'une fonction quelconque 14-03-25 à 15:13

Merci pour votre réponse, avec ces mots clés j'ai pu obtenir pas mal de nouvelles pistes. Merci encore !

Posté par
GBZMre : Coin d'arrêt d'une fonction quelconque 14-03-25 à 17:23

Avec plaisir.


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