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Colimites et équivalence de categories

Posté par
raisinsec
14-03-23 à 11:37

Bonjour,

Un exercice me demande de trouver des diagrammes F,G:J\to Cat ou J est une catégorie, Cat la catégorie des catégories et de trouver une transformation naturelle \eta:F\to G telle que \eta_i:F(i)\to G(i) est une équivalence de catégories \forall i\in J mais telle que la map induite colim_JF\to colim_JG n'est pas une équivalence de catégories.

Un indice me dit d'essayer avec J une catégorie simple comme (\cdot \leftarrow \cdot \to \cdot) et de m'inspirer de la topologie mais je ne vois pas du tout. Surtout que pour moi

Quelqu'un a une idée ?

Posté par
Rintaro
re : Colimites et équivalence de categories 14-03-23 à 13:53

Bonjour, pour l'indication "s'inspirer de la topologie", on peut regarder du côté des groupoïdes de Poincaré par exemple.

Pour la suite, je peux me tromper mais on peut prendre F comme étant :

C \leftarrow \{0,1\} \rightarrow C

et G :

\centerdot \leftarrow \{0,1\} \rightarrow \centerdot

où :

- \{0,1\} est une catégorie discrète à deux objets ;
-C une catégorie à deux objets où il existe un unique morphisme entre deux éléments distincts (autrement dit "0 \simeq 1")
- "\centerdot" une catégorie discrète à un objet.

Tu peux chercher les pushouts des diagrammes et montrer qu'ils ne sont pas équivalents. Si je me suis trompé, j'espère que quelqu'un corrigera vite. Bonne journée.

Posté par
Rintaro
re : Colimites et équivalence de categories 14-03-23 à 13:54

Je précise que le foncteur entre {0,1] et C est "l'inclusion" pour F.

Posté par
raisinsec
re : Colimites et équivalence de categories 15-03-23 à 11:19

Merci pour ta réponse.

Est-ce qu'un groupoïde G avec 2 éléments x,y, un nombre dénombrable de morphismes entre x et x, y et y respectivement (de sorte a obtenir des morphismes qui se comortent comme \mathbb Z) et un unique morphisme de entre x et y, y et x respectivement existe ?

Même question mais cette fois si en demandant que G(a,b)=\mathbb Z pour a,b\in\{x,y\} ?

Posté par
Rintaro
re : Colimites et équivalence de categories 15-03-23 à 18:36

Bonsoir, je passe en coup de vent sans être certain de ma réponse, peut-être qu'elle est fausse (tiens moi au courant). Pour ta première question, je vois bien un groupoïde où les deux objets sont \Z. En les appelant \Z_1, \Z_2 on peut définir les endomorphismes des \Z_i par \Z et le morphisme de \Z_1 vers \Z_2 (et inversement) par 0 de sorte que la composition soit simplement l'addition.

On peut adapter la dernière définition des morphismes de Z1 -> Z2 pour avoir aussi Z je crois. Je le répète, je peux me tromper !

Posté par
raisinsec
re : Colimites et équivalence de categories 15-03-23 à 18:52

En fait j'ai du mal avec ta 1ere réponse, tu décris F et G comme étant des diagrammes.

Pourrais tu préciser quel est ton J ? Est ce qu'on a F et G des foncteurs partant de {0,1} ou est-ce qu'ils partent des pushouts, mais dans ce cas quelle est leur codomaine ?

Posté par
Rintaro
re : Colimites et équivalence de categories 15-03-23 à 19:15

J'ai pris J = \cdot \leftarrow \cdot \to \cdot et tout foncteur F de source J est entièrement déterminé par deux flèches possédant le même domaine (F est un diagramme !). Peut-être que c'est moins abstrait si on donne des noms aux objets et morphismes de J, par exemple

x \stackrel{f}{\leftarrow} y \stackrel{g}{\to} z

Dans ce cas, F est déterminé par F(x), F(y), F(z), F(f), F(g) qui peuvent se représenter sous la forme du diagramme J (c'est pas pour rien que F est appelé diagramme). Dans mon premier message et par rapport à ces notations, on a que F est donné par

F(x) = C, ~F(y) = \{0,1\}, F(z) = C

et les flèches sont envoyées par F sur les foncteurs d'inclusion.

Posté par
raisinsec
re : Colimites et équivalence de categories 15-03-23 à 19:20

Ah oui d'accord je vais continuer de réfléchir dessus alors. Je renverrai un message au besoin, merci.

Posté par
Rintaro
re : Colimites et équivalence de categories 15-03-23 à 21:55

Je t'en prie, je travaille beaucoup les catégories en ce moment pour mes recherches mais je reste néophyte. Ton exercice est intéressant je trouve, ça m'intéresse vraiment de savoir si les pistes fonctionnent ou non. Si tu as une correction un jour, je suis aussi intéressé .

Posté par
raisinsec
re : Colimites et équivalence de categories 15-03-23 à 23:18

Penses tu que la colimite de F est C ici ? Si c'est le cas je pense que ton contre exemple marche.



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