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comatrice et inverse d'une matrice

Posté par
Acrobate23 25-09-19 à 19:40

Bonjour,
Je galère sur quelques points dans mon DM et j'aurais besoin de votre aide: il est assez long mais je voudrais deja commencé la première partie:

EXERCICE:

Soit N l'ensemble des entiers naturels, N*=N\{0} et pour n dans N*, N_{n}
= {1,2,...,n}.
Si n est un entier superieur ou egal à 1, on note M_{n}(C)
le C-espace vectoriel (EV) des matrices carrées d'ordre n à coefficient dans C et M_{n,1}(C) le C-EV des matrices colonnes à n-lignes à coefficient dans C, I_{n} est la matrice identité dont les coefficients sont données par le symbole de Kronecker.

\delta _{i,j} = \begin{cases} 1 & \text{ si } i=j \\ 0& \text{ si } i\neq j \end{cases}


Pour A=(ai,j) dans Mn(C) tA designe la transposée de A, \Delta _{i,j} designe le determinant de la matrice A privée de sa i-ème ligne j-eme colonnes. On pose A_{i,j} = (-1)^{i+j} \Delta _{i,j} appellé cofacteur de A. On rappelle la definition de la comatrice de A, Com A (je vous l'épargne !)

PARTIE QUESTION:

Soit A = (a_{i,j} \in M_{n}(C), (\beta _{1},...,\beta _{n})\in C^{n} et B la matrice deduite de A en remplacant la j-ème colonne de A par la colonne formée des coefficients (\beta _{1},...,\beta _{n})

QUESTION 1/

MONTRER QUE det B = \sum_{k=1}^{n}{\beta _{k}A_{k,j}}

REPONSE: c'est simplement un developpement par rapport à la j-ème colonne du determinant de A = NOTRE COURS

QUESTION 2/

EN DEDUIRE les égalités pour tout (l,j) \in N^{2}_{n} , \sum_{k=1}^{n}{a_{k,l}A_{k,j}} = (detA)\delta _{l,j}

REPONSE: j'ai à distinguer 2 cas en fonctions de si l=j ou l different de j. Dans le cas où c'est égal NO SOUCI c'est comme à la question 1 un simple developpement.
Mais lorsque l n'est pas égal à j je galère je dois montrer que cette somme vaut 0 et j'y arrive pas

On verra après pour la suite...



Posté par
larrechre : comatrice et inverse d'une matrice 25-09-19 à 21:00

Bonsoir,

Le cas lj correspond au cas où l'on aurait remplacé les éléments de la jème colonne par ceux de la lème (sans pour autant changer la lème)...

Posté par
Acrobate23re : comatrice et inverse d'une matrice 25-09-19 à 21:49

Si j'ai donc bien compris on a donc les colonnes j et i égaux ? Dans ce cas le determinant serai donc bien nul

Posté par
Acrobate23re : comatrice et inverse d'une matrice 25-09-19 à 21:53

LA FIN de la première partit me semble assez simple et j'ai réussi. Le but était de prouver que A t_{ComA} = det(A)I_{n} = t_{ComA} A

Je vous montre la deuxieme partit si vous pouviez m'aidez à demarrer

Soient U, V dans Mn(C) Montrer qu'il existe un polynome Q de degré au plus n tel que:

pour tout x dans C , det(xU + V) = det(U)x^{n} + Q(x)

Posté par
larrechre : comatrice et inverse d'une matrice 25-09-19 à 21:53

Oui, ça revient à développer un déterminant qui a deux colonnes identiques (la j et la l).

Posté par
Acrobate23re : comatrice et inverse d'une matrice 25-09-19 à 21:57

MERCI larrech. Si tu as encore 5 min pour me mettre dans la bonne voix concernant la deuxième partit ce serait cool j'en ai vraiment besoin

Posté par
larrechre : comatrice et inverse d'une matrice 25-09-19 à 22:23

J'essaierais d'utiliser la multilinéarité du déterminant par rapport à ses colonnes.

J'écrirais U=\begin{pmatrix} U_1 &U_2\dots & U_n \end{pmatrix}  où les U_i désignent les vecteurs colonnes, et V de façon identique.

det(xU+V)=x det\begin{pmatrix} U_1 &xU_2 +V_2 &\dots &xU_n+V_n \end{pmatrix}+det\begin{pmatrix} V_1 &xU_2+V_2 & \dots & xU_n+V_n \end{pmatrix}

etc assorti d'une récurrence

Posté par
Acrobate23re : comatrice et inverse d'une matrice 25-09-19 à 22:59

Désolé larrech mais je ne te suit vraiment pas quelle serait la proposition de récurrence ? Sur n ? En quoi cela prouverai une quelconque existence de Q ?

Posté par
larrechre : comatrice et inverse d'une matrice 25-09-19 à 23:13

Je ne vais pas rester plus longtemps ce soir, mais en continuant on fait petit à petit apparaître ce que l'on cherche. Comme le processus s'effectue pour n quelconque, il faut bien à moment donné montrer qu'il se poursuit de la même façon jusqu'au bout.

Essaie déjà avec n=2, puis n=3, tu vas voir ce qui se passe.

Peut-être y a-t-il plus simple. Tu auras peut-être un autre avis.

Posté par
Acrobate23re : comatrice et inverse d'une matrice 25-09-19 à 23:18

OK mrc bien

Posté par
larrechre : comatrice et inverse d'une matrice 25-09-19 à 23:26

La récurrence doit pouvoir se faire sur n. On montre que c'est vrai pour n=2, puis etc.

Posté par
larrechre : comatrice et inverse d'une matrice 25-09-19 à 23:27

Bof, je n'ai rien dit.

Posté par
larrechre : comatrice et inverse d'une matrice 26-09-19 à 09:08

Fatigué hier soir.

Une récurrence sur n en tant que nombre de colonnes doit permettre de conclure.

Posté par
luzakre : comatrice et inverse d'une matrice 26-09-19 à 18:08

C'est vrai qu'on peut y arriver mais  montrer que le coefficient de x^n égal au déterminant de U  est plutôt galère par hérédité.

Je suggère plutôt :
f(x,y)=\det(xU+yV) : c'est un polynôme homogène en x,y de degré  n pour chacune des variables (le déterminant est une somme de n! produits de n termes de la forme xu_{ij}+v_{ij}).
Donc f(x,y)=\sum_{0\leq k\leq n}\alpha_kx^{n-k}y^{k}.

Le déterminant cherché est f(x,1)=\sum_{0\leq k\leq n}\alpha_kx^{n-k}=\alpha_0x^n+Q(x) et  on a f(x,0)=\alpha_0x^n=\det(xU)=x^n\det(U).
A noter qu'on a aussi facilement : Q(0)=\det(V)

Contrairement à l'énoncé le polynôme Q est de degré strictement inférieur à n : si on on prend un de degré n l'unicité n'est plus assurée ni le coefficient exigé pour x^n.

Remarque pour Acrobate23 : il faut éviter de poser le même problème sur deux forums en même temps. C'est une perte de temps pour ceux qui répondent et il est préférable de se faire expliquer ce qu'on n'a pas compris par le même intervenant.
Récemment ce procédé a entraîné un bannissement !


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