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Niveau Prepa intégrée
Combinatoire
Posté par martizic
Bonjour,
J'ai un exercice qui me demande :
On jette un dé équilibré 3 fois de suite, et on s'intéresse au total des points obtenus.
De combien de façons peut-on obtenir un total égale à 16 ?
En tentant plusieurs combinaisons je tombe sur un résultat mais j'aimerais savoir s'il y a une formule qui peut nous donner directement le résultat.
Merci !
Pour obtenir 16 exactement je trouves :
4 6 6
5 5 6
Donc uniquement 2 façons différentes. Est-ce juste?
Tu cherches le cardinal de l'image réciproque de 16 par la fonction définie par
Si on définit par
il est facile de voir que l'image de
est
tout entier puisque
et
mais que
pour tous
.
Maintenant, par associativité à gauche de +, on a où
est l'addition définie sur
.
On peut faire comme au paragraphe précédent pour en déduire que l'image de est
. Ensemble qui contient effectivement 16
Il s'agit maintenant d'écrire (je te laisse écrire pour quelles bijections de type currryfication/application partielle)
Grâce au produit cartésien par le singleton , différent à chaque fois, cette union est disjointe, donc
.
est vide pour
puisque 15,14, et 13 sont strictement supérieurs à 12 donc pas dans l'image de
Pour faire 12, c'est forcément 6 + 6 : une possibilité (6,6)
Pour faire 11 c'est 6 + 5 ou 5 + 6 : deux possibilités (6,5) et (5,6)
Pour faire 10 c'est
soit 5 + 5 : une possibilité (5,5)
soit 6 + 4 ou 4 + 6 : deux possibilités (6,4) et (4,6)
Au final
------------
Plus généralement, le nombre de façons de tirer k éléments dans
de somme m est donné par la relation de récurrence
Ca a l'air facile à résoudre mais en fait, non parce que l'image réciproque de ne se déduit pas facilement de celle de
ni réciproquement, même quand A est de la forme
.
En fait, la vraie difficulté n'est pas de trouver le nombre de décompositions d'un nombre en une somme de deux autres (séquences de Farey, partitions d'un nombre, etc), mais uniquement de trouver l'image de chaque restriction de chaque à chaque sous-ensemble de A.
Je vois bien un algorithme un peu plus performant que cette petite récurrence, mais c'est pas du niveau prépa 
salut
exercice interessant , puisque Sylvieg que je salue à confirmé la réponse attendue
on peut ecrire à partir de x+y+z = 16 et en posant que z = p
que y = - x +(16-p) équation de droite ; son intersection avec la droite x=6 donne y = 10-p et son intersection avec la droite y = 6 donne x = 10 - p avec 10-p
6 soit p
4 et p10.
donc x est compris entre min(6,10-p) et max(6,10-p) il y aura
max(6,10-p)- min(6,10-p)+1 valeurs acceptables.
si p =4 alors 6-6+1 = 1 cas possible
si p = 5 alors 6-5+1 = 2 cas possibles
si p = 6 alors 6-4+1= 3 cas possibles
soit donc en tout 3+2+1 = 6 cas possibles sans les detailler
-
salut,
developpe (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^3:
x^18+3*x^17+6*x^16+10*x^15+15*x^14+21*x^13+25*x^12+27*x^11+27*x^10+25*x^9+21*x^8+15*x^7+10*x^6+6*x^5+3*x^4+x^3
regarde le coefficient du terme de degre 16
en ligne avec Xcas pour Firefox 
(si necessaire decocher Q/R sur une ligne dans la config en haut à gauche)