Bonjour à tous,

Voici le début de l'énoncé :

Le placement des d passagers d'un train comportant n sièges est modélisé par une injection ϕ : [[1, d]] → [[1, n]]. On numérote donc les passagers de 1 à d et les sièges de 1 à n, puis on note ϕ(k) le numéro du siège sur lequel s'est assis le k-ieme passager, pour k = 1, . . . , d.
On suppose ensuite que pour tout k, le k-ieme passager a reservé le siège n°k, mais qu'il a oublié son numéro de siège et en choisit un au hasard. Dans cette situation, on s'intéresse au nombre N(d, n) de possibilites pour qu'aucun voyageur ne soit assis à la place prévue.

Vous retrouverez les questions en pièce jointe.

Pour la question a),  je dis qu'avec d=n, on a autant de passagers que de places disponibles. Dans ce cas, N(n,n) vaut simplement : n!* Σ ((-1)^k) / k! où k varie de 0 à n (c'est le nombre de dérangements).

Je bloque sur la question b) de cet exercice, je ne comprends pas comment utiliser la formule du crible (ou principe d'inclusion exclusion) en l'appliquant à cet énoncé.

Je sais que I(d,n)=n!/(n-d)!
J'ai essayé la piste suivante : N(d,n) étant le nombre de possibilités pour qu'aucune personne ne soit à sa place, il suffit de prendre le nombre de possibilités d'arrangements possibles qui vaut n!/(n-d)! ce à quoi il faudrait enlever le nombre de possibilités qu'au moins 1 personne soit à sa place.

Mais je n'ai aucune idée de comment determiner ce dernier nombre de possibilités.

Je vous remercie par avance pour vos réponses.

Excellente soirée.