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Comètes

Posté par
Nunusse
22-02-21 à 18:21

Bonjour,
Je viens vers vous, car j'ai du mal avec mon dm de maths expertes. Je serais très reconnaissante si vous m'aidiez svp.
On appelle S l'ensemble des entiers relatifs n vérifiant le système:
n13(19)
n6(12)

1. Recherche d'un élément de S.
On désigne par (u;v) un couple d'entiers relatifs tel que:
19u+12v=1
a) Justifier l'existance d'un tel couple (u;v)

b) On pose n0=6*19u+13*12v
Démontrer que n0 appartient à S.

Pour la question 1.a), j'ai cité le théorème de Bezout, cependant à la question 1.b), j'ai un peu plus de mal. Je vois un lien avec le système donné mais je n'arrive pas à l'exploiter.

Merci d'avance de votre réponse.

Posté par
carpediem
re : Comètes 22-02-21 à 18:41

salut

tu sais que 19u + 12v = 1 donc 12v = (1 - 19u)

donc n_0 = 6 * 19u + 13 * 12v = 6 * 19u + 13 * (1 - 19u)

développe et vérifie que n_0 = 13 [19]

puis même raisonnement pour modulo 13 ...

Posté par
Nunusse
re : Comètes 26-02-21 à 12:48

Bonjour desole du retard j'avais un souci de connexion
merci beaucoup je vais essayer de faire ça

Posté par
Nunusse
re : Comètes 26-02-21 à 13:11

j'ai donc n0=-133u+13=6-84v
cela coïncide avec les conditions pour S.

la question c) me demande de donner un entier n0 qui appartient à S.
Dois-je faire une table de congruence pour voir quelles valeurs coïncident avec les conditions de S ?

Posté par
carpediem
re : Comètes 26-02-21 à 13:33

je ne comprends pas

Nunusse @ 26-02-2021 à 13:11

j'ai donc n0=-133u+13=6-84v
cela coïncide avec les conditions pour S.
quel est l'intérêt de calculer vu la question ?

c/ : il suffit de trouver u et v ...

Posté par
Nunusse
re : Comètes 26-02-21 à 13:38

ah mais oui je me sers de l'algorithme d'Euclide pour trouver une solution particulière u et v dans 19u+12v=1 et ensuite je remplace dans l'expression de n0

Posté par
Nunusse
re : Comètes 27-02-21 à 14:24

Je trouve 678 vous êtes d'accord ?

Posté par
Nunusse
re : Comètes 27-02-21 à 14:25

pour u=-5 et v=8

Posté par
carpediem
re : Comètes 27-02-21 à 15:57

ce n'est que du calcul ...

Posté par
Nunusse
re : Comètes 28-02-21 à 17:34

ça marche merci
je dois maintenant démontrer que n-n00[228]

je connais l'expression de n0 mais pas de n et je sais que je dois montrer que la différence des deux est divisible par 228 mais c'est un peu le flou. Pourriez vous m'aider svp ?

Posté par
carpediem
re : Comètes 28-02-21 à 17:50

qu'est-ce que 228 ?

Posté par
Nunusse
re : Comètes 28-02-21 à 17:54

19*12

Posté par
carpediem
re : Comètes 28-02-21 à 18:31

conclusion ?

Posté par
Nunusse
re : Comètes 28-02-21 à 18:44

je ne sais pas...

Posté par
carpediem
re : Comètes 28-02-21 à 19:01

tu as :

n_0 \equiv 13  [19]
 \\ n_0 \equiv 6  [12]           et                n \equiv 13  [19]
 \\ n \equiv 6  [12]

donc par soustraction ...

Posté par
Nunusse
re : Comètes 28-02-21 à 19:04

zéro
mais d'abord dois-je multiplier les lignes entre elles pour montrer que leur produit vaut 228?

Posté par
carpediem
re : Comètes 28-02-21 à 19:04

Posté par
Nunusse
re : Comètes 28-02-21 à 19:14

j'ai compris un peu le principe mais c'est surtout la rédaction qui m'est compliquée

On sait que:
n013(19)
n06(12)

n13(19)
n6(12)

De plus, 12*19=228

mais là je suis un peu bloquée

Posté par
carpediem
re : Comètes 28-02-21 à 22:38

quelle soustraction donne 0 ?

Posté par
Nunusse
re : Comètes 28-02-21 à 22:57

le système de n-n0

donc je n'ai pas a avoir les expressions littérales de n et n0 ?

Posté par
carpediem
re : Comètes 28-02-21 à 23:12

peux-tu être plus explicite que ces réponses laconiques qui ne veulent rien dire ?

sinon j'arrête ...

Posté par
Nunusse
re : Comètes 04-03-21 à 13:11

Bonjour désolée de mon absence j'avais un souci de connexion.

La soustraction qui donne zéro est 13-13 mais aussi 6-6

Posté par
Nunusse
re : Comètes 04-03-21 à 13:13

or ici on s'intéresse à modulo 228 soit 12*19

Posté par
Nunusse
re : Comètes 06-03-21 à 18:45

Bonjour est-ce possible que vous m'éclairiez un peu plus s'il vous plaît je vous en serais très reconnaissante, je suis désolée d'avoir mal compris.

Merci d'avance

Posté par
carpediem
re : Comètes 06-03-21 à 18:51

j'utilise m à la place de n_0

m est une solution particulière donc

m = 13  [19]
m =   6   [12]

or

n = 13  [19]
n =    6  [12]

donc par soustraction

n - m = 13  [19]
n - m =     6  [12]

or 12 et 19 sont ... donc ...

Posté par
carpediem
re : Comètes 06-03-21 à 18:52

carpediem @ 06-03-2021 à 18:51

j'utilise m à la place de n_0

m est une solution particulière donc

m = 13  [19]
m =   6   [12]

or

n = 13  [19]
n =    6  [12]

donc par soustraction

n - m = 0  [19]
n - m = 0  [12]

or 12 et 19 sont ... donc ...

Posté par
Nunusse
re : Comètes 06-03-21 à 18:56

mais ouiii je n'avais pas capté merciii !
12 et 19 sont premiers entre eux.
12 divise n-n0 et 19 divise n-n0 donc d'après le corollaire du théorème de Gauss n-n0 divise 12*19 c'est-à-dire 228.

Merci beaucoup

Posté par
carpediem
re : Comètes 06-03-21 à 18:57

attention c'est le contraire : 12 * 19 divise n - n_0 ...

Posté par
Nunusse
re : Comètes 06-03-21 à 19:04

Maintenant, je dois en déduire que n appartient à S si et seulement si n peut s'écrire de la forme n=-6+228k avec k appartient à Z.

Je pense que je dois d'abord partir de l'expression donnée: n=-6+228k.
Je passe le -6 de l'autre côté, j'obtiens alors n+6=228k ce qui veut dire que 228 divise n+6.

Posté par
Nunusse
re : Comètes 06-03-21 à 19:07

Ensuite je sais que n6[12] or 228 est divisible par 12.

Et par soustraction
n-60[12]

Posté par
Nunusse
re : Comètes 06-03-21 à 19:08

ah oui c'est vrai merci.

Posté par
Nunusse
re : Comètes 06-03-21 à 19:09

soit n=-6+228k

Posté par
carpediem
re : Comètes 06-03-21 à 19:14

tout simplement que peut-on dire de -6 ? voir à 14h24 ...

Posté par
Nunusse
re : Comètes 06-03-21 à 19:16

-6 divise 678, l'une des solutions particulières

Posté par
Nunusse
re : Comètes 06-03-21 à 19:17

mais c'est suffisant comme rédaction ? je ne montre pas pour n'importe quel entier ?

Posté par
carpediem
re : Comètes 06-03-21 à 19:29

bof ... sans intérêt ...

Posté par
Nunusse
re : Comètes 06-03-21 à 19:37

d'accord merci,
la dernière question est une question d'application:
Tous les 19 ans, la comète A passe. Elle apparaîtra la prochaine fois dans 13 ans.
Tous les 12 ans, la comète B passe. Elle apparaîtra la prochaine fois dans 6 ans.
Dans combien d'années pourra-t-on observer les deux comètes la même année.

Je n'ai aucune idée d'où partir.

Posté par
carpediem
re : Comètes 06-03-21 à 22:06

tu n'as toujours pas répondu à

Nunusse @ 06-03-2021 à 19:04

Maintenant, je dois en déduire que n appartient à S si et seulement si n peut s'écrire de la forme n=-6+228k avec k appartient à Z.

Posté par
Nunusse
re : Comètes 07-03-21 à 11:36

ahh j'ai pensé que je devais juste dire -6 divise 678, l'une des solutions particulières.

Dans ce cas je repars de mon idée de base. Je pars d'abord de l'expression donnée: n=-6+228k.
Par addition, je passe le -6 de l'autre côté, j'obtiens alors n+6=228k ce qui veut dire que 228 divise n+6.
Ensuite je sais que n6[12] or 228 est divisible par 12.

Et par soustraction
n-60[12]

Après je suis bloquée du coup comme je disais.

Posté par
carpediem
re : Comètes 07-03-21 à 11:44

tu as démontré que : n - n_0 est multiple de 228 (1)

comment passe-t-on de (1) à (2) : n = -6 + 228k

aide : voir 14h24 ...

Posté par
Nunusse
re : Comètes 07-03-21 à 13:58

je ne sais pas je ne vois pas où vous voulez en venir

Posté par
Nunusse
re : Comètes 07-03-21 à 14:42

n-n0 est multiple de 228 <=> n-n0=228k <=> n=n0+228k

or n0=6*19u+13*12v.

par contre je n'arrive pas à faire apparaître le -6

Posté par
carpediem
re : Comètes 07-03-21 à 17:59

deux méthodes :

1/ quelle solution particulière as-tu trouvée ?

donc n = ... ?

Posté par
Nunusse
re : Comètes 07-03-21 à 18:13

j'ai trouvé 678 donc n=678+228k
et 678-6[228]
donc -6 est une autre solution particulière de n0
Par conséquent, n=-6+228k
Vous confirmez?

Posté par
carpediem
re : Comètes 07-03-21 à 18:24

ha ben enfin !!!

ça c'était la première méthode ...

deuxième méthode :

13 = -6  [19]
6 = -6 [12]

donc -6 était évident !! ... sans avoir besoin de faire la question 1/ ...

Posté par
Nunusse
re : Comètes 07-03-21 à 18:54

ahhh génial merci. Il me reste qu'une question et j'aurais enfin fini.  C'est une question d'application:
Tous les 19 ans, la comète A passe. Elle apparaîtra la prochaine fois dans 13 ans.
Tous les 12 ans, la comète B passe. Elle apparaîtra la prochaine fois dans 6 ans.
Dans combien d'années pourra-t-on observer les deux comètes la même année.
Je n'ai aucune idée d'où partir.

Posté par
carpediem
re : Comètes 07-03-21 à 18:59

tout ce que tu viens de faire te permet d'y répondre ...

Posté par
Nunusse
re : Comètes 07-03-21 à 19:00

dans 6às?

Posté par
carpediem
re : Comètes 07-03-21 à 19:04

13 + 6 = 6 + 6 ??

Posté par
Nunusse
re : Comètes 07-03-21 à 19:06

non mais je ne comprends pas le rapport avec ce que l'on vient de faire à vrai dire.

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