1_L'affirmation suivante :  le minimum de la fonction est égale à -4 est-elle vraie ?

2_Quel est l'image de 3?

3_Résoudre l'équation f(x) = 2 ?

f(-2) = 8
f(-1) = 2
f(0) = -2
f(1) = -4
là, je vois que f décroît.
f(2) = -4
f(5) = 8
f croît
j'en déduis que forcément le sommet de la parabole est entre 1 et 2
Alors affirmer que : le minimum de f est -4 n'est pas vraie.

Puis-je avoir de l'aide pour la 2)
je ne vois pas comment calculer l'image si je n'ai pas la valeur des coefficients...

Bonjour,

l'astuce est d'utiliser l'axe de symétrie de la courbe représentative de f
ceci permet de répondre bien plus précisément à la question 1

et aux autres dans la foulée.

Bonsoir,

Ainsi parla Geogebra

De quoi VERIFIER tes réponses

Bonsoir ZEDIMAT

Je pense que tu as placé les points
(-2; f(-2))

(-1;f(-1))

(0;f(0))

(1;f(1))

(2;f(2))

(5;f(5))

cela avec l'icône point
mais comment fais-tu pour tracer une parabole avec Géogebra ?

c'est l'énoncé d'un contrôle que nous avons eut cette année et auquel je me suis planté.
--> on a pas Geogebra dans un contrôle

malou edit

il n'y a pas besoin de Geogebra pour faire l'exo !!
par contre comprendre qu'une parabole est symétrique par rapport à la verticale qui passe par son sommet, si.
(c'est du cours)

quant au tracé de la parabole avec Geogebra (en dehors de l'exo) il suffit de trois points pour trouver les trois inconnues a,b,c, coefficients de y = ax²+bx+c
par un calcul très simple, à la main, sur papier. (en dehors de cet exo ci)
ou de demander à Geogebra avec sa fonction "Polynome[ ], 3 points suffisant pour une parabole,

Bonsoir,

Comment utilisez vous la fonction Polynôme [liste de points]

Dans la barre de saisie, j'ai effectivement Polynôme [liste de points]

j'ai compris

j'ai défini un point A (-2;8)
puis un point B (-1;2)
et ensuite un point C (0;-2)
et dans la barre de saisie: Polynôme (A,B,C)
il faut juste que les points soient séparés par une virgule

malou edit

c'est ça.

ça permet (dans d'autres exos où on demande de trouver l'équation) de vérifier ses calculs vu que l'équation calculée par Geogebra est dans la fenêtre Algèbre.

oui, j'ai vu que l'équation apparaît dans la fenêtre Algèbre.

Vous avez parlé d'un calcul à la main pour trouver l'équation ?

malou edit

le point A (-2, 8) appartient à la courbe si et seulement si (évidence, définition même de "courbe représentative)


c'est à dire

on fait pareil avec deux autres points
et on résout le système des équations en les inconnues a,b,c :

PS : totalement inutile dans cet exo ci, hein ... c'est juste "pour la culture"

Le point (-1;2) appartient à la courbe y = a x² + bx + c si et seulement si ..

2 = a (-1)² + b (-1) +c
soit a - b + c = 2

Le point  (1;-4) appartient à  la courbe y = ax² + bx + c
-4 = a(1)² + b (1) +c
soit a + b + c = -4

J'ai un système de 3 équations à  3 inconnues =

4a - 2b+c = 8
a -b+c =2
a+b+c = -4
  
je multiplie la deuxième équation par 4
4a - 2b + c = 8
4a - 4b + 4c = 8
=> 2b -3c = 0

a - b+c = 2
a+b+c = -4
<=>2b = 6 <=> b = -3

je reprends 2b - 3c = 0 avec b = -3
2b - 3c = 0
2(-3) - 3c =0 <=> -6 - 3c = 0 <=> - 3c = 6 <=> c = 6/3 = 2

Pour trouver a
a-b+c = 2
a -(-3) + 2 = 2 <=> a +5= 4 <=> a = -1

et je devrais trouver a =1

Je n'ai rien lu de ta résolution.  

Pourquoi ne pas exploiter f(0) ? Cela donne la valeur de c !

erreur de signe là :
... <=> - 3c = 6 <=> c = 6/3 = 2

en tout cas parmi les 6 points donnés, le choix des trois que l'on utilise simplifie ou pas les calculs
il faut faire preuve d'un peu d'astuce : choisir les points d'abscisses -1, 0 et 1 donne des équations plus simples
(dont l'une "tout résolue" comme le dit cocolaricotte )

le choix de ton A(-2; 8) n'était qu'à titre d'exemple et parce que tu avais choisi ce point là au départ.

en toute logique, une fois qu'on a utilisé 3 des 6 points pour obtenir les valeurs de a,b,c, il faudrait vérifier que les trois autres satisfont effectivement à l'équation obtenue.
(en fait c'est une vérification de l'énoncé , que les points donnés sont effectivement sur une parabole)

PS :

f(x) = a x² + bx + c

f(-1) = 2 <=>a(-1)² + (-1)b + c  = 2 <=> a - b +c = 2
f(0)=-2 <=> a(0)² + (0)b + c = -2 <=> c = -2
f(1)=-4 <=>  a(1)² + (1)b + c = -4<=> a + b + c = -4

Ainsi, j'obtiens un système de deux équations à 2 inconnues
a - b + c = 2
  a + b + c = -4
(j'additionne les deux équations)

2a + 2c = -2 avec c = -2 <=> 2a -4 = -2 <=> 2a = -2 + 4  <=> a = 1

Pour avoir b, je prends l'une des 2 équations :
a + b + c = -4 avec a = 1 et c = -2 <=> 1 +b -2 = -4 <=> b = -3

salut,
pourquoi ne pas suivre la consigne du titre ?

Bonjour lb

pour répondre à l'affirmation : le minimum de f est égale à -4 est-elle vraie ?

f(-2) = 8
f(-1)= 2
f(0)=-2
f(1) =-4
f décroit
f(2) = -4
f(5) = 8
puis f croit
j'en déduis que le sommet est entre 1 et 2
par conséquent
- 4 n'est pas la valeur minimale

après pour la 2 )
je vois pas

ça fait 3 fois qu'on le dit :
ces calculs là sont inutiles dans cet exo.

mathafou 12-07-18 à 10:55 : utiliser la symétrie (et rien d'autre)
mathafou 12-07-18 à 23:41 : ces calculs et Geogebra sont inutiles pour cet exo.

la preuve que mathchim n'a rien compris du tout à ce mot clé important et qui est l'unique propriété à utiliser ici :



toute parabole est symétrique par rapport à son axe qui passe par le sommet.

et rien d'autre. (aucun calcul à part des additions ou soustractions pour savoir quels points sont symétriques de quels autres)

et on est revenu exactement au même point que

@mathchim
complete le tableau de valeurs en ajoutant les images de 3 et 4

la question est surtout pour mathchim de dire comment il complèterait ce tableau ...

f(3) = a(3)² + b (3)+ c <=> 9a + 3b + c = ??

f(4) = a(4)² + b (4) + c <=> f(4) = 16a + 4b + c = ??

tu mets toutes tes histoires de coefficients et de calculs à la poubelle
ils n'ont aucun rapport avec cet exo
il faut le dire en quelle langue et combien de fois ??

Citation :
l'unique propriété à utiliser ici :



toute parabole est symétrique par rapport à son axe qui passe par le sommet.

Pour des raisons de symétrie, l'absisse du sommet est la moyenne de deux points de la parabole
ayant même ordonnée

si   alors

J'observe que dans le tableau :  



La parabole admet un axe de symétrie d'équation x = 3/2

oui, ça doit prendre 5 minutes
j'ai su faire que la 1)

malou edit

oui. !!!!
l'abscisse du sommet est donc précisément en x_s = 3/2
ce qui comme annoncé dès le départ permet de préciser la question 1 au lieu de dire "entre" dans le flou

et donc ensuite quel est le point symétrique de (3; ??) cherché ?
ce point est il dans le tableau donné ? etc

Le symétrique de (3;??) est (-3.??)

non
l'axe n'est pas x = 0 mais x = 3/2

est le milieu du segment  avec 3 pour extrémité



Le symétrique de (3;??) est ( 0;??)

Par lecture du tableau de valeurs, je vois que

J'ai démontré par le calcul que les points d'abscisse x = 3 et x = 0 sont symétriques par rapport à l'axe de symétrie de la parabole.

malou edit > j'ai regroupé tous ces messages à quelques minutes d'intervalle

salut

bon je n'ai pas tout lu vers la fin ...

JFF :

La moyenne de ces deux points correspond à l'absisse du sommet de la parabole.
Pour des raisons de symétrie, ces deux points ont la meme ordonnée

f(0) = -2
Or f(0) = f(3)
Donc f(0) = f(3) = -2

Bonjour Carpe Diem
Comment Trouves-tu  :

oui. (pour f(3))

sans calculs lourdingues

5 minutes c'est pour la rédaction
la solution c'est quelque secondes, au pire quelques dizaines de secondes de réflexion (!! réflexion, symétries )



carpediem;
on ne va certainement pas relancer la digression du calcul des coefficients maintenant !!

carpediem et mathchim : digression hors sujet
terminer l'exo d'abord.

oK
on termine l'exo, mais j'espère que Carpediem m'en dira un peu plus sur f(x) = 4

D'après le tableau où vous avez encadré en rouge les valeurs de  - 4 et de 8
j' en déduis :

oui ça on le sait depuis longtemps, c'est dans l'énoncé, le tableau !!
et c'est ce qui t'a permis de déterminer l'axe de symétrie

l'important est d'utiliser maintenant cette symétrie pour compléter le tableau (déja dit alb12)

et bien j'ai trouvé que f(3) = f(0) = -2
en disant que si deux points de la parabole ont la meme ordonnée, la moyenne des abscisses est l'abscisse du sommet





comme
j'en ai déduis f(3) = -2

oui ça c'est fait (depuis plusieurs messages déja)

mais si tu complètes effectivement et réellement le tableau complètement (avec les valeurs de f(3) et de f(4) obtenues par symétrie et rien d'autre) tu vas pouvoir répondre "instantanément"à la question suivante.
(à condition d'ouvrir les yeux ce que tu sembles avoir des difficultés à faire, privilégiant le calcul plutôt que la réflexion)

Quel est le symétrique de 4 ?



Maintenant Résoudre f(x) = 2

euh, non
x = -1 puisque f(-1) = 2
et  x  = 4

oui (bof) et donc f(4) = ?? c'est ça compléter complètement le tableau
tu y as encore un trou.
(et n'ont rien à y faire, sans doute un reste du tableau standard LaTeX ?,
on ne met que les valeurs qui nous intéressent : celles données et leurs symétriques)

bien y a qu'à lire le tableau pour résoudre f(x) = 2 !!

bon, le passage à la page suivante pour cause de dizaines de messages sans aucun rapport, de tergiversations, de calculs filandreux etc n'arrange pas les choses;

oui, f(-1) = 2 donc -1 est une solution de f(x) = 2 par simple lecture de l'énoncé.
et l'autre est donc le symétrique de x = -1, c'est à dire x = 4

terminé.

pour le coup de f(x) + 4 c'est vraiment tout bête
d'après le tableau donné on peut calculer le tableau de la fonction g(x) = f(x) + 4 :

sur lequel il est évident que les solutions de g(x) = 0 sont x = 1 et x = 2 et donc que g(x) peut s'écrire (équation produit nul)
g(x) = a(x-1)(x-2)
c'est à dire
f(x) + 4 = a(x-1)(x-2)

tout ceci de tête bien entendu sans avoir besoin d'écrire explicitement tout ça...
ensuite il ne reste plus qu'à trouver a en écrivant que f(0) = -2 :
c'est à dire que -2+4 = a(0-1)(0-2), ce qui est "instantané"

on termine en développant f(x) = a(x-1)(x-2) + 4

de même que tes calculs de symétriques s'obtiennent avec des calculs infiniment plus simples que ce que tu fais

si les points d'abscisses 1 et 2 sont symétriques par rapport à l'axe de la parabole
alors tous les points d'abscisse 1-n et 2+n sont symétriques (trivialement évident si on comprend ce que veut dire "symétrique")
en prenant n = 1, 2, etc on obtient (de tête !!) que :
le point d'abscisse
1-1 = 0 est symétrique du point d'abscisse 2+1 = 3
que celui d'abscisse 1-2 = -1 est symétrique du point d'abscisse 2+2 = 4
etc
en bref que la symétrie de la courbe se traduit exactement par une symétrie du tableau lui-même autour de la droite que j'avais dessinée en pointillé !

Merci Mathafou
Excellente soirée !!

une autre façon de dire ce que répètes mathafou (quelle persévérance )

tu sais que si g est la fonction carrée : alors par symétrie de la courbe par rapport à l'axe des ordonnées ...

ce qui s'écrit encore

donc si s est l'abscisse du sommet de la parabole représentative de f tu as par symétrie à nouveau

or ici f(1) = f(2) = 4

donc

s - x = 1 et s + x = 2 => 2s = 3 <=> s = 3/2

...

pour g(x) = x²
un point de coordonnée (x ; g(x) ) est le symétrique de (-x; g(-x))

mathchim, évite de mettre plein de petits messages successifs qui fait qu'on se retrouve très vite en 2e page...j'ai regroupé tous tes messages qui étaient successifs à quelques minutes

Bonsoir Malou ( je vais faire attention à cela )
et merci d'avoir regroupé les messages ....