Tu es dans R ? As-tu utilisé le fait que dans R une suite de Cauchy est convergente (donc bornée) et réciproquement ?

Une suite de Cauchy dans R est-elle convergente ?

Bonsoir papou_28

oui, en effet, toute suite de Cauchy réelle est convergente.

Kaiser

C'est justement comme celà que l'on défini R ...

Oui, c'est exact otto.
Si je me souviens bien, c'est l'ensemble des suites de Cauchy de quotienté par la relation d'équivalence suivante : ~ si et seulement si tend vers 0.
Enfin, si je ne me trompe pas !!

Kaiser

En fait c'est le complété de Q.
On peut montrer que tout ensemble possède un complété unique à isomorphisme près.
Je crois que c'est fait dans "le Choquet"

Je crois avoir une vague idée de ce qu'est le complété d'un ensemble mais pourrais-tu me donner une définition de cet ensemble, s'il te plaît ?

Salut,
c'est le plus petit espace complet qui contient l'espace que tu te donnes.
En fait j'ai dit une "semi-bétise", je disais que tout espace possédait un complété, en fait lorsque l'on parle de complété on parle de suite de Cauchy et donc de distance (ou de diamètre), donc il faut que l'on étudie un espace métrique, sinon ca n'a pas de sens.

Dans les espaces métriques complets, les sous espaces fermés sont exactement les sous espaces complets.
Si tu veux savoir à quoi correspond un espace métrique, complet ou non, il faut essayer de voir ca comme un espace qui ne serait pas "fermé".

Par exemple, Q est fermé relativement à lui même, mais intuitivement, on voit qu'il y'a des suites que l'on considérerait comme convergente, et qui ne converge pas, et donc on aurait envie de dire que Q n'est pas fermé. Cependant ca n'a pas de sens, puisque Q est fermé. C'est ainsi que l'on crée cette notion de complétude. Notamment, dans un espace plus grand comme R, Q n'est plus fermé relativement à R, c'est donc bien que notre soupçon était fondé, il y'avait quelque chose qui n'allait pas avec Q.

Comme je l'annonçais, si on a X qui est complet, tout Y fermé de X est complet, et réciproquement, tout Y complet est fermé relativement à X.

En fait, la complétude est un genre de notion de "fermé intrinsèque".
Par exemple, si on défini Np sur l'ensemble X des fonctions continues par

Alors si p>=1 Np est une norme sur X, et X est il complet?

La racine bizarre que je viens de faire, est la racine p-ième, bizarre que ca ne soit pas passé.
A+

Aie aie aie, j'ai écrit plusieurs bétises, malgré une relecture:
L'intégrale est sur R, et il y'a certaines phrases mal construites ou un peu étranges.
Désolé.
A+

Merci beaucoup otto pour ces précisions.
cependant, je me demande quelque chose (relativement au premier paragraphe de ton message de 00:18).

Un espace compet est-il nécessairement métrique ?
En effet, au début de l'année, j'avais fait en cours d'analayse fonctionnelle un peu de topologie générale et vu que la notion de convergence des suites a un sens dans les espaces topologiques séparés (qui ne sont pas forcément métriques).
Qu'en penses-tu ?

La convergence de suite n'est pas nécessairement fonction d'un espace métrique, mais plutôt d'un espace topologique.
Pour ce qui est de la complétude, on défini ca par une distance, mais c'est possible que ca puisse se généraliser, bien que je n'ai jamais vu ca, et que je ne vois pas trop comment.
Celà étant j'ai déjà entendu parler d'ensemble borné dans les espaces topologiques quelconque, même si je n'ai aucune idée de ce que c'est.
A+

salut
juste pour en revenir a l'exo
une petite remarque si je ne me trompe pas :
ce qui se cache derriere la solution est le theoreme de Cesaro.

reste a l'utiliser ou a le demontrer...

Refaisons donc la démonstration classique.

Soit une suite convergente :
On pose :
Montrons que , c'est-à-dire :


Soit


Or il existe un tel que
On suppose .




Or le numérateur de la première fraction ne dépend pas de donc :

Donc il existe tel que :


On prend . Pour tout :

CQFD

Sauf erreur.

Nicolas

Quelques fautes de frappe.

Annule et remplace la démonstration précédente
Soit une suite convergente :
On pose :
Montrons que , c'est-à-dire :


Soit


Or il existe un tel que
On suppose .




Or le numérateur de la première fraction ne dépend pas de donc :

Donc il existe tel que :


On prend . Pour tout :

CQFD

Sauf (nouvelle) erreur.

Nicolas

stp Nicolas_75 comment démontrer que si (un) tend vers 0 alors (vn) tend vers 0

Il suffit de remplacer l par 0 dans ma démonstration.

en faite g un exo qui dit en 3éme question (a la suite de ce qui précède)
étudier la réciproque en prenant Un=(-1)a la puissance n

bonsoir,
la réciproque est fausse
la suite de terme général u_n(-1)ⁿn'est pas convergente alors que la suite (v_n) qui lui est associée dans l'exercice converge vers 0

merci bcp vous m'avez vraiment aidé

je t'en prie
bon courage

Bonjour, au fait j'ai un peu de difficultés a comprendre toute la démonstration qu'a présenté Nicolas_75 .

1- Si il suffit de démontrer que |Vn-l|< (epsilon). pourquoi ne pas avoir utilisé que |Un-l|<(epsilon) pour quelque soit n de l'ensemble des entiers naturels. donc l'inégalité Vn < |(U1-l)+(U2-l)+...+(Un-l)|/n deviendras systématiquement Vn < |n(epsilon)|/n donc inférieure ou égale a epsilon. De plus je n'ai pas du tout saisi la partie dans la quelle tu as introduit le N>2. (Or il existe un N1>2 tel que ....)
2-Le fait de montrer que la suite Vn converge vers l est certainement suffisant a dire qu'elle est de Cauchy. Mais plus généralement comment utilise-t'on La définition (critère de Cauchy) pour démontrer que ce genre de suite est de cauchy?

merci de bien vouloir répondre , toutes mes excuses si il y a eu dérangement.