Bonjour à tous !
Je souhaiterai savoir comment se dérive une expression de fonction avec factorielle, par exemple :
-(b-t)^n+1 / (n+1)!
.
n est la variable, c'est pour comprendre la démonstration par récurrence de la formule de taylor avec reste intégral, puisque le reste intégrale est fonction de t, alors (n+1)! se comporte comme une variable finie ? Si l'on écrit f(x)=x!x, peut on dériver ça ? si x=2.7, alors, x! = 1x2 ou 1X2X3 ? ou ... ?
Merci !
Dahope
encore une belle journée ensoleillé pour la france, alors bonne journée
Si je dérive : -(b-t)^n+1 / (n+1)!
J'obtiens : n(b-t)^n / (n+1)! (en supposant que le factorielle est constant ici,
si je simplifie, par exemple n= 4 :
4X(b-t)^4 / 1X2X3X4X5 donc (b-t)^4 / 1X2X3X5 ce qui est différent de la dérivée annoncée : (b-t)^n / n! .
Quel est mon erreur de raisonnement ?
Bonjour dahope,
le titre de ta question est mal choisi.
En effet il ne s'agit pas de dériver une factorielle. Il s'agit de dériver (par rapport à t) une fonction simple
f(t)= (b-t)^(n+1)
Cette fonction étant affectée d'un coefficient -1/(n+1)! indépendant de la variable t , donc n'intervenant que de façon purement multiplicative.
Cette fonction f(t) est tout simplement la fonction puissance, c'est à dire x^N avec x=b-t et N=n+1.
Pour information :
Strictement, on ne peut pas parler de dévivation de factorielle, puisque cette fonction n'est définie que pour les entiers positifs.
Toutefois, il existe une fonction plus générale que n! qui est définie sur les réels (entiers négatifs et 0 exclus) et qui est dérivable. C'est la fonction Gamma(x)
Elle inclu les factorielles par la relation : n!=Gamma(n+1)
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