Bonjour ! J'aimerais savoir s'il est possible de prouver que "si la dérivée d'une fonction
est nulle, alors
est constante" sans avoir à utiliser le théorème des accroissements finis ?
Je ne vois pas comment mener un raisonnement par l'absurde ou par contraposition car on ne peut pas manipuler un comme un
...
J'aimerai bien avoir des pistes si c'est possible (autrement tant pis ^^)
Salut,
Ce n'est qu'une ébauche de réflexion mais en revenant au coefficient directeur de la tangente ça me semble pas mal ...
Dans tous les cas, je pense que revenir aux définition est une bonne idée ...
soit f dérivable.
On suppose f non constante.
Il existe donc a et b tels que f(a) f(b).
Sans perte de généralité on peut dire que f(a)>f(b)
Il existe donc un intervalle I de longueur d>0 inclus dans [a,b] tel que f y soit strictement croissante.
Soit x appartenant à I, f'(x) > 0 car f y est strictement décroissante.
Il existe donc un intervalle I de longueur d>0 inclus dans [a,b] tel que f y soit strictement croissante.
ah bon?
Sinon vu que est continue,
Bonjour lionel52 !
Pour démontrer ta relation peut-on se passer de "la différence de deux primitives sur un intervalle est une constante" ?
Du coup puisque est nulle, c'est une fonction continue et la relation de lionel52 me parait satisfaisante...
Cela me semble même adaptable pour le cas des fonctions holomorphes.
Si continue sur un ouvert
alors
admet une primitive
holomorphe sur
et
, ce qui montre que
est constante sur
...
Pourquoi ? Si on a ,
. Une primitive de 0 étant par exemple
on a
. Mais comme
est aussi une primitive de
on a
ce qui entraîne
, d'où
constante, non ?
certes mais comme une primitive de 0 est une constante (comme 0) ben on tourne en rond !!! et on a démontré que f est constante ... parce qu'elle est constante !!!
SkyMtn :Réponse à ton post de 18:09
Ce n'est pas le problème qui me gêne (intégrale d'une fonction nulle) mais l'affirmation
.
Je ne vois pas comment* obtenir ce résultat sans savoir que toute primitive de s'obtient en ajoutant une fonction constante à
et c'est justement le résultat que tu cherches à démontrer.
* Si je sais le montrer lorsque est Riemann-intégrable MAIS en utilisant l'inégalité des accroissements finis...
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