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Niveau Maths sup
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Comment montrer que f'=0 => f constante

Posté par
SkyMtn
13-05-17 à 18:48

Bonjour ! J'aimerais savoir s'il est possible de prouver que "si la dérivée f' d'une fonction f est nulle, alors f est constante"  sans avoir à utiliser le théorème des accroissements finis ?
Je ne vois pas comment mener un raisonnement par l'absurde ou par contraposition car on ne peut pas manipuler un \neq comme un =...

J'aimerai bien avoir des pistes si c'est possible (autrement tant pis ^^)

Posté par
Zrun
re : Comment montrer que f'=0 => f constante 13-05-17 à 20:09

Salut,
Ce n'est qu'une ébauche de réflexion mais en revenant au coefficient directeur de la tangente ça me semble pas mal ...
Dans tous les cas, je pense que revenir aux définition est une bonne idée ...

Posté par
carpediem
re : Comment montrer que f'=0 => f constante 13-05-17 à 22:40

salut

et pourquoi ne pas vouloir utiliser le TAF ?

Posté par
pyth
re : Comment montrer que f'=0 => f constante 14-05-17 à 00:55

soit f dérivable.
On suppose f non constante.
Il existe donc a et b tels que f(a) f(b).
Sans perte de généralité on peut dire que f(a)>f(b)
Il existe donc un intervalle I de longueur d>0 inclus dans [a,b] tel que f y soit strictement croissante.
Soit x appartenant à I, f'(x) > 0 car f y est strictement décroissante.

Posté par
lionel52
re : Comment montrer que f'=0 => f constante 14-05-17 à 01:30

Il existe donc un intervalle I de longueur d>0 inclus dans [a,b] tel que f y soit strictement croissante.


ah bon?

Sinon vu que f' est continue, f(y) - f(x) = \int_x^y f'(t)dt

Posté par
ThierryPoma
re : Comment montrer que f'=0 => f constante 14-05-17 à 07:17

Bonjour,

Cf. ceci

Posté par
carpediem
re : Comment montrer que f'=0 => f constante 14-05-17 à 08:08

lionel52 : certes oui j'avais écrit la même chose ... puis effacer car comment conclure ensuite ?

Posté par
luzak
re : Comment montrer que f'=0 => f constante 14-05-17 à 10:59

Bonjour lionel52 !
Pour démontrer ta relation peut-on se passer de "la différence de deux primitives sur un intervalle est une constante" ?

Posté par
SkyMtn
re : Comment montrer que f'=0 => f constante 14-05-17 à 14:42

Du coup puisque f' est nulle, c'est une fonction continue et la relation de lionel52 me parait satisfaisante...
Cela me semble même adaptable pour le cas des fonctions holomorphes.
Si f' = 0 continue sur un ouvert U alors f' admet une primitive f holomorphe sur U et f(z) - f(a) = \int_a^z f' = 0, ce qui montre que f est constante sur U...

Posté par
ThierryPoma
re : Comment montrer que f'=0 => f constante 14-05-17 à 14:50

Bonjour,

@SkyMtn : Et quel sens donnes-tu en analyse complexe pour \int_a^z f' ?

Posté par
SkyMtn
re : Comment montrer que f'=0 => f constante 14-05-17 à 14:55

Je donne le sens \int_a^z = \int_{[a,z]} = \int_\gamma avec \gamma un chemin d'extrémités a et z...

Posté par
luzak
re : Comment montrer que f'=0 => f constante 14-05-17 à 17:55

Citation :
Du coup puisque  f' est nulle, c'est une fonction continue et la relation de lionel52 me parait satisfaisante...

Oui, à condition de savoir la démontrer sans utiliser la propriété : "la différence deux primitives est une constante"...

Posté par
SkyMtn
re : Comment montrer que f'=0 => f constante 14-05-17 à 18:09

Pourquoi ? Si on a x\neq y, \int_y^x f'(t)\,\mathrm dt = \int_y^x 0\,\mathrm dt. Une primitive de 0 étant par exemple t\mapsto 0 on a \int_y^x f'(t)\,\mathrm dt = 0. Mais comme f est aussi une primitive de f' on a \int_y^x f'(t)\,\mathrm dt = f(x) - f(y) ce qui entraîne 0 = f(x)-f(y) \Rightarrow f(x) = f(y), d'où f constante, non ?

Posté par
carpediem
re : Comment montrer que f'=0 => f constante 14-05-17 à 19:25

certes mais comme une primitive de 0 est une constante (comme 0) ben on tourne en rond !!! et on a démontré que f est constante ... parce qu'elle est constante !!!

Posté par
SkyMtn
re : Comment montrer que f'=0 => f constante 14-05-17 à 19:53

Comment éviter une preuve circulaire alors ?

Posté par
carpediem
re : Comment montrer que f'=0 => f constante 14-05-17 à 20:30

ben le lien de ThierryPoma montre toute la difficulté d'une telle évidence ...

Posté par
SkyMtn
re : Comment montrer que f'=0 => f constante 14-05-17 à 21:24

Si je comprends bien on ne peux pas trop se passer du TAF pour trouver ce résultat... :/

Posté par
SkyMtn
re : Comment montrer que f'=0 => f constante 14-05-17 à 21:25

*prouver

Posté par
luzak
re : Comment montrer que f'=0 => f constante 15-05-17 à 08:53

SkyMtn :Réponse à ton post de 18:09
Ce n'est pas le problème \int_x^yf'=0 qui me gêne (intégrale d'une fonction nulle) mais l'affirmation \int_x^yf'=f(y)-f(x).
Je ne vois pas comment* obtenir ce résultat sans savoir que toute primitive de f' s'obtient en ajoutant une fonction constante à f et c'est justement le résultat que tu cherches à démontrer.

* Si je sais le montrer lorsque f' est Riemann-intégrable MAIS en utilisant l'inégalité des accroissements finis...



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