Salut !

Facile

x = + k · et a = -x
OU
x = 0 + k · et a = -x

Avec k

Amicalement

Bonsoir

D'où vient ta solution kjm ??
De plus a est fixé, il est impossible que a=-x!

En fait une étude de la dérivée montre que ta fonction est srictement croissante sur R, et passe de -infini à +infini.
Etant continue, elle prend une seule fois la valeur 0, donc déjà les solutions de kjm sont fausses.
Par contre sauf erreur de ma part, la solution n'est pas exprimable à partir des fonctions élémentaires, tu ne peux qu'en obtenir une approximation.

Tigweg

"Par contre sauf erreur de ma part, la solution n'est pas exprimable à partir des fonctions élémentaires, tu ne peux qu'en obtenir une approximation."


>>> pareil en ce qui me conerce : c'est une equation qui ce met sous la forme sin(x)=a*x+b, et c'est equations n'ont pas de solution exprimables par des fonctions usuelles ... d'ailleur je ne connait aucune fonction speciales qui permettent d'exprimer la solution non plus !


tous ce que tu pourra faire, c'est determiner le nombre de solution par une etude de fonction et calculer des valeur aproché de ces solutions par par exemple la methode de newton  (qui marchera tres bien ici )

Merci kjm

Oui, vous avez raison, mais je me suis mal exprimé.

"a" est une constante que je fixe arbitrairement.

Et alors, je cherche à résoudre :
x + cos(x).sin(x) + a = 0
Par exemple, je fixe " a= -1,5377 "
Et je cherche le "x" correspondant... Pas facile!...

Comment exprimer plus simplement cette équation?
merci

A+

Michel Martel (Paris)

Euh...Pour ma part, j'avais compris que a etait fixé arbitrairement!
Et je t'ai répondu, avec Ksilver, que cette équation n'était pas "simplifiable"!

Mais merci kjm, en effet!!!

et bien c'est ce que Tiweg et moi venont de te dire : c'est impossible !

tous ce que tu peut faire c'est de determiner le nombre de sollution, et de les calculer de manière approché. tu ne pourra pas trouver d'expression exacte des solutions en fonction de a car de telle n'expression "n'existe pas" (je veux dire qu'on ne peut pas exprimer les solution en utilisant que des fonction usuelle)

Oui, merci à vous deux.
Vous avez répondu tellement vite que je n'ai pas eu le temps de vous lire.
Vous aviez déjà posté que j'étais en train d'envoyé le 2e message (réponse à kjm ).

je suis nouveau sur ce forum, je ne savais pas qu'il y avait une telle réactivité!!!
Super et merci

Michel Martel (Paris)

Je t'en prie Michel!

Tigweg

Je vais vous expliquer comment je résouds mon problème...

Dans EXCEL, je crée une colonne avec " x " qui varie entre un mini et un maxi, avec un "pas" de calcul qui correspond à la précison que je veux sur le résultat.
La deuxième colonne calcule "  x + cos(x).sin(x) + a "
Je fais varier " a".
Quand je vois un "zéro" dans la deuxième colonne, je découvre le " x " correspondant dans la colonne de gauche.

Vous avez une méthode plus simple?
Merci

Michel Martel (Paris)

Euh, ça me paraît très efficace
Elle correspond à quoi ton équation, si ce n'est pas indiscret?

Tigweg

Salut,

C'est pour mesurer l'enfoncement des troncs d'arbre (forme cylindrique) flottant dans l'eau, en fonction de la densité du bois.
Imagine un tronc d'arbre, de forme cylindrique, de rayon R, d'une densité de 500 kg/m3 minimum
( Il est donc enfoncé dans l'eau de plus que la moitié ).
"x", c'est l'angle (en radian), par rapport à l'horizontale, qui passe par un point "sur l'écorce à la surface de l'eau".
Donc, ce point sur l'écorce a pour coordonnées : ( R.cos(x) ; R.sin(x)  )

J'arrive à l'équaiton suivante :

PI/2 + x + cos(x).sin(x) = Densité du bois / densité de l'eau.
( L'équilibre est réalisé lorsque le poids du volume d'eau déplacé est égale au poids du tronc d'arbre ).

Si: " a = PI/2 - ( Densité du bois / Densité de l'eau )
Alors : x + cos(x).sin(x) + a = 0

Tu remarqueras que le diamètre du tronc n'intervient pas.

Il y avait peut-être plus simple comme équation pour résoudre ce calcul...

Qu'en penses tu?

Michel Martel (Paris)

Bonjour,

Ah, c'est intéressant, tu es ingénieur agronome?

Je ne m'y connais pas assez en Physique, ni en troncs d'arbre d'ailleurs , mais ta méthode me semble bonne!
Dommage en effet qu'elle conduise à une équation "insoluble" ...

En revanche, j'imagine que la définition de a limite les valeurs de ce paramètre à un ensemle assez restreint de valeurs, non?

Tigweg

Tigweg,

Je ne suis pas ingénieur agronome, mais ingénieur en constructions mécaniques.
Je suis en train d'étudier la pertinence de construire des habitations flottantes à partir de troncs d'arbre qui assurent la fonction de flotteur.

Oui, la définition de "a" limite les valeurs de ce paramètre "x" à un ensemble assez restreint de valeurs, non?
Les limites sont :
x=0 radian pour une densité de 500kg/m3 ( tronc d'arbre, enfoncé de moitié dans l'eau ).
à
x= Pi/2 radians pour une densité de 1000kg/m3 ( tronc d'arbre, complètement dans l'eau ).

( Evidemment, plus la densité de l'arbre est importante, moins le bois a de potentiel pour supporter le poids de la maison )
( A densité proche de "1", le bois n'a plus aucun potentiel pour ce genre d'application ).

Les valeurs de la densité du bois allant, de 500kg/m3 à 1000 kg/m3...
&
a = PI/2 - ( Densité du bois / Densité de l'eau )
==>
a mini = Pi/2 - 1 = 0,5708
a maxi = Pi/2 - 0,5 = 1,0708
==>
0,5708 < a < 1,0758

C'est peut-être un problème de physique à l'origine de l'énoncé, mais cela devient vite un problème mathématique à cause de l'équation à résoudre.

Nicolas_75 a écrit "Excel est équipe d'un "solveur d'équations, non ?"

Alors là, je ne suis pas au courant... Ce serait super.
Comment on fait pour l'utiliser.
Prenant cet exemple justement...
x + cos(x).sin(x) + a = 0   avec "a" connu.
???

Merci
A+

Michel

As-tu quelque chose dans le menu Outils / Valeur Cible ?
Si oui, l'aide va t'indiquer comment t'en servir.

Oui Nicolas, j'ai cela dans EXCEL...

Une fenêtre "Valeur cible" s'ouvre...
Et il y a 3 champs à remplir...
1) Cellule à définir
2) valeur à atteindre
3) Cellule à modifier

Mais comment cela fonctionneavec mon équation ?....
x + cos(x).sin(x) + a =0

Merci

A+

Michel

Merci pour ces précisions Michel Martel

Surprenant, des habitations sur l'eau!
Je crois avoir vu un reportage sur des gens qui vivaient ainsi en Amazonie, mais je n'en avais jamais entendu parler en France.

Tigweg

As-tu vraiment besoin de calculer x ?

Un bois de Volume V et de densité d1 a un poids de 1000*V.d1.g
S'il est entièrement immergé (à cause du poids qu'il supporte) alors la poussée d'Archimède = 1000*V*1*g

La masse additionnelle max que le bois peut supporter est donc = 1000V - 1000V.d1 = 1000.V.(1 - d1)
---
Donc par exemple un tronc de volume 2 m³ et de densité = 0,6 pourra au max porter une masse additionnelle de  1000*2*(1-0,6) = 800 kg

Il faut bien-entendu prendre une sérieuse sécurité.

Ben oui, tu l'as dit toi-même, il faut une sérieuse sécurité.
Cette sécurité passe bien par un calcul d'enfoncement...
Et tu finis par devoir résoudre x + cos(x).sin(x) + a =0

Si tu fais pas cela, tu ignores à quelle niveau est le plancher de la maison par rapport à la surface de l'eau. Et il ne doit pas y avoir contact du plancher avec l'eau pour des raisons trop longues à expliquer ici...

Michel

Je ne vois pas pourquoi, tu veux à tout prix calculer x,

La sécurité doit être sur la masse supportée et par sur une valeur d'angle, me semble-t-il.

Il est bien plus parlant de dire qu'on a une sécurité de 25 % sur le poids de la charge supportée que de dire que l'angle x = 1 radian (ou autre chose).

Si on veut une sécurite de 25% (je ne sais pas si c'est suffisant) sur le poids supporté.
En reprenant l'exemple précédent, le tronc de 2 m³ et de densité de 0,6 est  capable au max de supporter 800 kg, il suffira de limiter cette charge à 600 kg pour ce tronc pour avoir une sécurité de 25% sur la charge supportée, et c'est tout.

C'est bien plus simple et plus parlant que de dire qu'avec 600 kg de charge, ou aura un angle x de 1 radian (ou autre chose).

Mais il y a peut-être un piège caché que je ne vois pas.

Dans la case B5, tape "1" (valeur de a)
Nomme cette case "a" (Insertion / Nom / Définir)
Dans la case B6, tape "0" (valeur initiale de x)
Nomme cette case "x" (Insertion / Nom / Définir)
Dans la case B7, tape =x+cos(x)*sin(x)+a (normalement, "1" s'affiche)

Outils/Valeur cible
Cellule à définir : B7 (c'est-à-dire la formule)
Valeur à atteindre : B6 (c'est-à-dire x)
Go !

Il y a de a bisbrouille quelque part.

Je ne trouve pas le même intervalle de valeurs pour a que Michel Martel.



Aire en bleu = Pi.R²/2 + xR² + R².cos(x).sin(x)

Aire totale = Pi.R²

Flotte (sans charge additionnelle) si: Pi.R².Rho(bois) = [Pi.R²/2 + xR² + R².cos(x).sin(x)].Rho(eau)

Pi.Rho(bois)/Rho(eau) = Pi/2 + x + cos(x).sin(x)

x + cos(x).sin(x) = Pi.Rho(bois)/Rho(eau) - Pi/2

En posant a = [Pi/2 - Pi.Rho(bois)/Rho(eau)], on a:

x + cos(x).sin(x) + a = 0

Même formule que celle de Michel Martel MAIS avec l'expression de a différente.

Ici, on a: a = [Pi/2 - Pi.Rho(bois)/Rho(eau)]

et donc pour Rho(bois)/Rho(eau) compris dans [1/2 ; 1], on a:

a dans [-Pi/2 ; 0]
-----
Dans ces conditions,
Si Rho(bois)/Rho(eau) = 0,5, on a : a = 0 et on trouve x = 0
Si Rho(bois)/Rho(eau) = 1, on a : a = -Pi/2, l'équation est alors:
x + cos(x).sin(x) -Pi/2 = 0 et la solution est x = Pi/2

Cela me semble normal.
-----

Ceci étant dit, cela ne fait avancer le schmilblik, car on trouve x en fonction de la densité du bois mais sans charge additionnelle.

Si le but est de faire flotter une charge avec les troncs comme flotteurs, l'angle x va bien entendu diminuer avec la charge et on n'est pas des plus avancé pour savoir si le machin va ou non flotter et avec quelle "garde" par rapport au niveau de la flotte.
D'où l'approche que j'avais suggérée avant (celle où on ne passe pas par le calcul inutile de x sans la charge).
-----
Sauf distraction ou mauvaise interprétation du but du problème.

J'ai voulu écrire:

... l'angle x va bien entendu augmenter avec la charge ...

bonjour

et si le rondin flotte avec une partie émergée plus importante que celle immergée ?
.

mikayaou

Ce ne serait possible que si le bois avait une densité inférieure à 1/2 (ou flotterait dans une autre bistouille que de l'eau), ce qui a été exclu par Michel Martel dans son message du 20/10/2006 à 01:29

Lire ...(ou flottait...)

ok sur l'information

sans avoir tout lu, je supposais que le liquide pouvait être plus dense

désolé
.

Merci JP,

Superbe contribution !!!

A part connaître la valeur d'enfoncement dans l'eau des troncs d'arbre, il est possible de ne considérer que la poussée d'archimède pour les calculs de dimensionnement vis-à-vis de la flottabilité.
JP a raison.

En fait mes calculs sont plus complexes que :
x + cos(x).sin(x) + a =0
... parce que je considère aussi le poids de la maison flottante. ( donc je calcule en fait l'angle "x (en radians)" en tenant compte de la charge additionnelle.

Mais comme ma question portait juste sur la résolution de l'équation, j'ai pas compliqué mes explications en parlant de la maison flottante...

Bien entendu, la maison flottante est dans l'eau ( densité 1000kg/m3 ), inutile d'envisager de la mettre dans du mercure!!!

Merci encore.

Michel Martel

Sans faire de calcul sérieux, il me semble que des flotteurs en bois sont loin d'être la meilleure option.

Faisons un calculs grossier, à la louche.

Si on réalise une maison qui soit un "bête" parallélépipède en bois de 4 cm d'épaisseur, de surface au sol de 25 m² et de hauteur 3 m.

La maison (sans ses flotteurs) demande 4,4 m³ de bois.
Supposons une densité de 0,7 --> masse de 3080 kg
Si on invite des amis à boire un pot, on peut se retrouver facilement à 8 (même si c'est occasionnel) : 600 kg
Et si on ajoute le mobilier (faut bien dormir et manger) et la vaiselle, sans pousser: 400 kg

On doit faire flotter environ: 4000 kg
Si on prend une sécurité sur la charge de 25 %, les flotteurs doivent pouvoir (outre leur masse masse) supporter 5000 kg.

Si on acceptait même que les flotteurs soient au ras de l'eau dans ces ciconstances (de 5000 kg de charge), avec du bois de densité 0,7, il faudrait un volume V de flotteur tel que :

(5000 + 1000.V.0,7) = 1000.V.1, soit V = 17 m³.

Il faudrait des flotteurs de 17 m³, soit, s'ils occupaient toute la section au sol du bâtiment, une épaissaur de bois plein de 17/25 = 68 cm
(Et si il s'agit de troncs à section circulaire, il faudrait, sur toute la surface au sol, des troncs d'environ 90 cm de diamètre... C'est fou (comme Perrier).

Et cela pour faire flotter une maison de poupée (ou presque).

Je pense qu'un autre type de flotteur serait à envisager, presque n'importe quoi, mais pas du bois.

Calcul d'un flotteur parallélipipèdique en acier de 6 mm (et c'est plus que certainement trop)d'épaisseur par exemple. (avec les quelques renforts bien placés nécessaires)

Flotteur de 25 m² et de hauteur h, soit (50 + 20h) m² de tôle de 6 mm d'acier (densité d'environ 8).

(5000 + (50+20h)*0,006*8000) = 25h*1000
8000 + 2400 + 960h = 25000h
h = 0,43

Donc 43 cm de haut pour un flotteur en tôle d'acier de 6 mm.
C'est moins encombrant que le bois.

En choisissant mieux le matériau (et l'épaisseur de carcasse) du flotteur (alu ? plastique, matériau composite ?), on devrait arriver à des choses beaucoup plus raisonnable que des flotteurs en bois.

... Mais certains dirons que c'est moins écolo.  

Ce n'est probablement pas pour rien que, depuis bien longtemps, on fait des bateaux en acier et plus en bois.

Bonjour,

Oui J-P,
Tu as 100% raison. Tu as bien compris la finalité de cet exercice.

C'est exactement la conclusion de mon étude.

Bon, je n'en avais pas parlé, car je pensais qu'il ne fallait parler que de mathématique dans ce forum dans lequel je suis nouveau.
Maintenant si on peux mettre les mathématiques au service de l'écologie et de l'environnement, c'est excellent!...

Oui, ce n'est pas écologique d'utiliser des troncs d'arbre comme flotteur pour faire une maison flottante. Et, il faut effectivement la réaliser à partir d'un corps creux, c'est à dire de la tôle d'acier.

Si en Amazonie, on utilise des troncs d'arbre, c'est parce que le bois y est disponible pour pas cher, et que les habitants n'ont pas les moyens ni l'outillage pour construire des coques en acier...

Michel Martel (Paris)