Bonjour,
Ecrire 14 .... [13] donc 14¹³ ......

Bonjour,

Merci pour votre réponse mais je suis toujours perdue:

14¹³-10 mod 13
14¹³1 mod 13

...et après? Comment dois-je procéder pour arriver à une conclusion quelconque?

Bonjour ,

En regardant le chiffre des unités ,  14ⁿ  se termine par  4  si n est impair  (et par 6 si n est pair)
Ici  n est impair  donc  14¹³ se termine par un 4 .
14¹³ - 1  se termine donc par un 3
Aucun multiple de 13  se termine par un 3 .

Cordialement

Bonjour,

fm_31 Tu es allé(e) un peu vite !

13 * 21 ou 13 * 25671   sont des multiples de 13 et se terminent par un 3 !

14 1[13]

14¹³ 1¹³[13]

et il ne reste plus qu'à conclure

Oui effectivement , je me suis fourvoyé .

Je reprends à partir du message de cocolaricotte

Citation :
14 1[13]

14¹³ 1¹³[13]

C'est savoir si 14¹³ - 1 est divisible par 13 ou pas

Supradyn  quand tu pars de 14¹³ - 1 0 [13]

Tu pars de la conclusion ! Il ne faut pas partir de cette hypothèse ! Il faut raisonner dans le bon sens

on sait que 14   1 [13]

donc 14¹³ .........

jsvdb, ton message est peu clair et sans rapport avec la question posée "dire si 14¹³-1 est divisible par 13 ou non".

Bonjour cocolaricotte
Désolée d'être intervenue un peu vite, mais j'avais peur que Supradyn soit complétement désorienté.

Pas de soucis ! Je ne me sens pas propriétaire des sujets auxquels je réponds. Il fallait rectifier au plus vite !

Ton intervention était la bienvenue. Je tapais la mienne pendant que tu envoyais la tienne.

jsvdb  ta réponse n'est pas adaptée parce que Supradyn raisonne à l'envers !

C'est ce conseil qu'il fallait lui donner pas ce que tu as répondu !

Bonjour !
Et se rappeler (somme des termes d'une suite géométrique) que est aussi une solution.

@Luzak : quand les solutions simples nous échappent ...

Bonjour à tous,

L'idée, en partant de la fin, était soit d'arriver à quelque chose de logique (i.e. la même chose à droite et à gauche du signe d'égalité), et dans ce cas on aurait pu dire que 14¹³-1 était divisible par 13, soit d'arriver à quelque chose d'illogique et de dire dans ce cas-là que ce n'était pas divisible par 13.

J'ai trouvé une manière de faire qui me parle, contrairement aux "congruences modulo" auxquelles je ne comprends visiblement pas grand-chose. Je ne comprends pas pourquoi on pourrait multiplier à gauche et à droite du signe . Je n'arrive pas à faire les liens... pour moi, 141 mod 13 signifie que 14-1 est divisble par 13, et je ne vois pas comment on peut en déduire directement que 14¹³1 mod 13... ça ne veut rien dire pour moi...

Par contre, en procédant ainsi:
14-1=13k
14 = 1+13k
14² = 14 + 14*13k
14² = 13 + 1 + 13k₁ (j'introduis le 14 qui multipliait 13k dans un "nouveau" k₁)
14² = 1 + 13k₂ (cette fois j'introduis le +13 dans un "nouveau" k)

Et on répète le processus jusqu'à ce qu'on ait 14¹³ à gauche...

Merci à tous pour votre temps et vos réponses

Heureusement qu'on ne te demande pas de démontrer que 14⁹⁵⁸⁰ - 1 est divisible par 13 !

Il faut que tu comprennes la méthode utilisant la congruence ou celle de luzak

Regarde la fiche de ce forum en particulier les propriétés sur les congruences : ------> Divisibilité - PGCD et PPCM - Nombres premiers

Cela va être délicat pour toi de faire de l'arithmétique en refusant d'utiliser les congruences.

Citation :
pour moi, 141 mod 13 signifie que 14-1 est divisble par 13,

Citation :
je ne vois pas comment on peut en déduire directement que 14¹³1 mod 13.

Dans la fiche conseillée par cocolaricotte, c'est plutôt

si b a [13] alors b^p a^p [13] .

bonjour
>>supradyn
ton idée d'utiliser la formule du binôme n'est pas mauvaise mais ce n'est pas la methode attendue par le texte

avec

Comme dit par Sylvieg , il faut utiliser la propriété donnée

et une autre

SI a b [n]  , alors pour tout réel c on a : a - c (b - c) [n]

Je dirais plutôt "pour tout entier c "

En effet pour tout entier c.

Bien vu ! Toutes mes excuses !

Bon un petit résumé pour que Supradyn y retrouve ses idées dans ces échanges multiples et variés

14 = 1*13 + 1 donc 14 1 [13]

En appliquant la propriété qui dit  si  b   a  [13]      alors     b^p   a^p  [13]

on en déduit que 14¹³ 1¹³ [13]

Or 1¹³ = 1 donc 14¹³ 1 [13]

Maintenant on applique l'autre propriété :  Si  a b [n]  , alors pour tout entier c on a : (a - c) (b - c) [n]

A utiliser en partant de 14¹³ 1 [13] et en retranchant 1 aux 2 membres

Cela donne donc 14¹³ - 1   (1 - 1) [13]  

soit  14¹³ - 1   0 [13]

Ce qui signifie que le reste de la division de 14¹³ - 1 par 13 vaut 0

On aurait pu faire la même chose avec 14⁹⁵⁸⁰ - 1 sans écrire 9580 lignes qui auraient rempli un cahier de plus de 300 pages et mis plusieurs jours à être fait !

Une précision 14 = 1*13 + 1 donc 14 1 [13] car le reste de la division de 14 par 13 vaut 1