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Commutant d'un endomorphisme diagonalisable
Bonjour, je bloque à la question 1)b) du problème suivant (et je ne suis absolument pas sur de la 1)a)):
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n.
Soit u un endomorphisme de E et C(u)={v
L(E), }.
1) On suppose que u admet n valeurs propres 2 à 2 distinctes.
a) Montrer que dim(C(u))=n
b) Montrer que C(u)=Vect{Id,u, ... ,un-1}
2) Généralisation
On suppose que u est diagonalisable.
On note 
1, ... , p les valeurs propres distinctes de u, Ei=Eu(i) les sous-espaces propres associés, et on pose ni=dim(Eu(i))
a) Soit v un endomorphisme de E.
Montrer que si et seulement si chaque Ei est stable par v.
b) En déduire que si et seulement si la matrice de v dans une base bien choisie est diagonale par blocs.
c) Donner la dimension de C(u)={vL(E), } en fonction de p et des n1, ... , np.
Pour la a) j'ai dit que :
Comme u admet n valeurs propres deux à deux distinctes, u est diagonalisable.
Donc dans la base B de E propre pour u, Mat(u,B) est diagonale donc elle commute avec toutes les matrices (le produit est une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les produits des coefficients diagonaux des deux matrices) donc C(u)=E mais je suis très dubitatif parce que d'après moi si c'était vrai il n'y aurait plus de raison d'y avoir un exercice.
Et pour la b) je ne sais pas comment justifier que (Id,u, ... , un-1) est génératrice ou libre dans C(u) (ou dans E si mon résonnement de la question précédente est bon).
Merci d'avance pour votre aide.
salut
un exo classique ... avec une rédaction ... étonnante ...
il est évident que les u^k commutent avec u et vu qu'ils sont indépendants et au nombre de n ...
Pour la a), j'ai compris mon erreur, je ne comprenais pas pourquoi une matrice quelconque et une matrice diagonale ne commutait pas (et en plus comme tu me l'a fait remarqué jsvdb mon résonnement aurait conduit à dim(C(u))=n²). En fait pour que U et V (matrices de u et de v) commutent, il faut qu'elles soient diagonalisables, donc diagonales dans une base. Donc, comme il y a dans la matrice diagonale au plus n coefficients non nuls, alors dim(C(u))=n (Sauf erreur).
Et pour l'indépendance des uk, je ne me suis pas rappelé d'arguments de mon cours qui me le confirmaient et j'ai pas réussi à le redémontrer.
Bonsoir superjuju45
Donc, comme il y a dans la matrice diagonale au plus n coefficients non nuls
Tu n'as aucune indication que les valeurs propres sont non nulles.
1) Dans le cas des valeurs propres distinctes tu DOIS utiliser le fait que les espaces propres sont des droites.
Chaque espace propre de
Pour l'écriture en fonction des
Pour la 1)a) j'ai compris, pour la 1)b), il ne faut pas que le polynôme soit de degré n pour qu'il prenne n images différentes en n antécédents différents ?
@ superjuju45 : Revois polynômes de Lagrange. Simplement tu peux envoyer, par une application affine, deux réels distincts sur deux réels donnés (même distincts) : c'est la méthode pour écrire l'équation d'une droite qui passe par deux points distincts.
Ensuite tu te trompes sur les valeurs propres distinctes. Ce sont celles de qui sont distinctes, par hypothèse ; tu ne peux pas montrer que celles de
le sont aussi : par exemple, l'identité est dans le commutant et ses valeurs propres ne sont pas distinctes.
@carpediem Bonjour ! Non ce n'est pas trop grave. Sans vérifier que les espaces propres sont stables on peut montrer que si commutent tout vecteur propre de l'un est vecteur propre de l'autre. Ce qui joue fortement ici c'est que les espaces propres sont de dimension 1.
Il est vrai ici que les forment une famille libre de
éléments car le polynôme minimal est de degré
mais ce n'est pas toujours le cas.
Désolé mais, je conçois (enfin je crois) qu'on puisse envoyer par une application affine, deux réels distincts sur deux réels donnés (même distincts) mais je ne vois pas comment on en conclut que les uk sont indépendants.
Mon objection répondait à ta supposition que le degré du polynôme était .
Tu démontres que est diagonalisable et notes
les valeurs propres, pas forcément distinctes.
Si tu as alors
est une combinaison linéaire des
.
La famille est donc génératrice du commutant et libre car le polynôme minimal de est de degré
: il y a
valeurs propres distinctes.
Avec cette explication, je crois que j'ai compris (mais j'étais loin de penser aux polynômes de Lagrange pour justifier la question). Après quand on sait que la famille est génératrice on peut aussi utiliser un argument de dimension pour montrer que c'est une base si je ne me trompe pas. P appartient bien à K[u] ? (l'algèbre des polynômes en u)
Sinon après je bloque à la 2)c).
Ton argument de dimension finie ne vaut QUE si tu connais les dimensions de tes espaces, ce qui est justement une des questions.
Comment peux-tu y répondre sans démontrer que tu as une famille libre et génératrice ?
Pour la 2.c je veux bien t'aider mais il faut me dire exactement ce que tu as trouvé pour la 2.b.
En gros tu dois "recoller" des endomorphismes qui laissent stables les espaces . Quelle est la dimension de
?
Ces endomorphismes "recollés" donnent-ils toutes les solutions ?
Si oui il suffit de faire la somme des dimensions.
Pour la 2)b) j'ai dit que c'était la matrice qui avait sur sa diagonale les Mat(v,Bi) pour i[[1;p]] et les Bi bases des Ei.
Du coup, est ce qu'on peut dire que :
vC(u)
il existe B telle que Mat(v,B) est diagonale par blocs ?
"Est-ce qu'on peut dire " C'est à toi de répondre à cette question.
Je ne sais toujours pas
si tu as démontré la condition nécessaire : les espaces doivent être stables par
si tu as montré que cette condition est suffisante.
C'est ce que j'appelais : dire exactement ce que tu as trouvé en 2.b.
........................................
Tu proposes ensuite une équivalence comportant trois relations
L'équivalence
v
C(u) il existe B telle que Mat(v,B) est diagonale par blocsPasser d'un endomorphisme à une matrice demande quelques précisions.
La relation suivante est délirante ! Je croyais que tu avais compris l'objection de jsvdb :
Quant à la fin de ton équivalence, penser que la dimension de
..................................
Bref tu travailles encore un peu en corrigeant ce que je signale et SURTOUT en répondant clairement à la question 2.a.
En 2a), j'avais dit que :
si , soit x
Ei
u(x)=ix
=v(u(x))
=v(ix)
=iv(x)
u(v(x))=iv(x)
donc Ei est stable par v.
Réciproquement, si Ei est stable par v,
u(x)=ix
u(v(x))=iv(x)
Soit i[[1;p]], xEi
et,
Soit yE, u est diagonalisable donc,
.
Et je suis en train de me demander, est ce qu'on peut pas juste dire que les Mat(v,Bi) de la matrice de v dans B sont toutes de dimension dim(Ei)² et donc
?
C'est ça !
Pour la condition suffisante tu aurais pu remarquer que la restriction de à
est une homothétie donc commute avec tout endomorphisme de
Pour la dimension je pense qu'il faut faire appel à la base canonique de et compter les vecteurs de la base qui sont dans le commutant, ce qui donne bien ton résultat mais tu ne peux pas "juste dire" sans autre justification.
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