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commutant d'une matrice diagonale

Posté par
croustiman27 09-03-18 à 14:18

bonjour,
je galère sur un exo de dm sur les matrices.

enoncé:

On considère ici une matrice diagonale D=diag(d_1,...,d_n) à coefficients diagonaux distincts 2 à 2. On definit son commutant C(D) comme l'ensemble des matrices commutant avec elle : C(D)=\left\{M\in M_n(K), MD=DM \right\}.

a)Montrer que C(D) est un sev de M_n(K).

b)Calculer les coefficients de MD et DM en fonction de ceux de M et D. En déduire que C(D) est égal à l'ensemble des matrices diagonales. Calculer dim(C(D)).

c) Soit P(X)=\sum_{k=0}^{n-1}{\lambda _kX^k}\in K[X]. On définitP(D)=\sum_{k=0}^{n-1}{a _kD^k}\in M_n(K).

Montrer que P(D)=diag(P(d_1),...,P(d_n)).
En déduire que [\sum_{k=0}^{n-1}{\lambda _kD^k}=0]\Rightarrow [\lambda _0=...=\lambda _{n-1}=0] (attention ce sont des matrices pas des polynomes)
En déduire que C(D)=Vect[I_n,D,...,D^{n-1}] après avoir établi l'inclusion \supset

d)Justifier qu'il existe un unique polynôme P de degré \leq 2 tel que P(1)=P(2)=1 et P(3)=0, on l'explicitera.
Ecrire diag(1,1,0) comme une combinaison linéaire de I_3,D,D^2 dans le cas où n=3 et D=diag(1,2,3).

e) Ici seulement, n=3 et D=diag(1,2,2). Détailler à l'aide d'un dessin matriciel les coefficients d'une matrice de C(D). Quelle est, cette fois la dimension de C(D)?

Je pense avoir reussi les 2 premières:
a)caractérisation des sev, vecteur nul+stabilité par combinaison linéaire.
b)soit M\in M_n(K), M=\begin{pmatrix} m_{1,1} &... &m_{1,n} \\ ...& ...& ...\\ m_{n,1}&... & m_{n,n} \end{pmatrix}
MD=\begin{pmatrix} d_1m_{1,1} &... &d_nm_{1,n} \\ ...& ...& ...\\ d_1m_{n,1}&... &d_n m_{n,n} \end{pmatrix}

DM=\begin{pmatrix} d_1m_{1,1} &... &d_1m_{1,n} \\ ...& ...& ...\\ d_nm_{n,1}&... &d_n m_{n,n} \end{pmatrix}
Or MD=DM donc d_1m_{1,2}=d_1m_{1,3}=...=d_1m_{1,n}=0,
d_1m_{n,1}=d_1m_{1,3}=...=d_{n-1}m_{n,n-1}=0

En itérant on trouve, M=\begin{pmatrix} m_{1,1} & &(0) \\ & ...& \\ (0)& &m_{n,n} \end{pmatrix} donc C(D)={matrices diagonales}.
Pour la dimension de C(D) j'ai décomposé M en la somme de n matrices élémentaires, donc sa dimension est n.
En revanche pour la c) je bloque.
toute aide est la bienvenue.

Posté par
etniopalre : commutant d'une matrice diagonale 09-03-18 à 14:39

Si D = Diag(a1,......,an) il est immédiat que pour tout entier k >0 on a  : Dk = Diag(a1k ,......,ank )  
et  donc que P(D) = Diag(P(a1),......,P(an))  pour tout  P   K[X] .

Si P   Kn-1[X] vérifie P(D) = 0 alors  les aj sont racines de K . Si aj ak  chaque fois que j k ,  P a alors n racines .
Tu connais beaucoup de tels P ?

Posté par
Camélia Correcteurre : commutant d'une matrice diagonale 09-03-18 à 14:46

Bonjour

Bon début.

c) par calcul P(D)=Diag(P(d_i)). Si tu as \sum_{k=0}^{n-1}\lambda_k D^k=0, en regardant ce qui se passe à chaque étage tu vois que le polynôme \sum_{k=0}^{n-1}\lambda_kX^k est de degré n-1 et admet n racines distinctes.

d) C'est un "vrai" polynôme du second degré que tu cherches. Tu peux le faire par
coefficients indéterminés. Mais comme P(3)=0 on a P(X)=(X-3)(aX+b) \\ et on peut finir.

Posté par
croustiman27re : commutant d'une matrice diagonale 09-03-18 à 15:41

ok pour la premiere partie mais après j'ai un peu plus de mal.
qu'est-ce que K dont les a_j sont les racines?

ok donc P est nul, et comme K[X] est integre alors les lambdas sont nuls

Posté par
Camélia Correcteurre : commutant d'une matrice diagonale 09-03-18 à 15:46

K est le corps des coefficients. Ici, probablement \R ou \C. Attention, si le corps n'est pas infini, tout ceci est faux. Enfin, le fait que les \lambda soient nuls na rien à voir avec l'intégrité du corps. Relis attentivement ce que nous avons écrit!

Posté par
croustiman27re : commutant d'une matrice diagonale 09-03-18 à 16:23

je pense avoir compris, mais les notations sont encore un peu confuses pour moi.
quelle est la différence entre les a_k dans l'expression de P(D) et les \lambda _k dans l'implication à prouver ?

pour la question suivante je trouve a=-1/2 et donc P(X)=(-1/2X)(X-3)

Posté par
Camélia Correcteurre : commutant d'une matrice diagonale 09-03-18 à 16:25

Les a_k sont donnés avec la matrice. Les \lambda_k sont quelconques. Il faut montrer que si la combinaison linéaire est nulle, alors ils sont tous nuls.
Ok pour le polynôme du second degré.

Posté par
croustiman27re : commutant d'une matrice diagonale 09-03-18 à 16:39

ok donc si \sum_{k=0}^{n-1}{\lambda _k D^k}=0 alors les d_k allant de 0 à n-1 sont racines de P ?

Posté par
croustiman27re : commutant d'une matrice diagonale 09-03-18 à 17:02

ou plutot k allant de 1 à n

Posté par
croustiman27re : commutant d'une matrice diagonale 09-03-18 à 17:53

je pense avoir reussi.
(d_1,...,d_n) sont racines de P.
deg(P)\leq n-1 et P a n racines donc P=0
donc \lambda _0=...=\lambda _{n-1}=0 (\ast).

C(D)=Vect[I_n,D,...,D^{n-1}] ?

inclusion \supset: verifiée car (I_n,D,...,D^{n-1})\in C(D) donc commutent

inclusion \subset:
on sait par (\ast) que la famille (I_n,D,...,D^{n-1}) est libre, et on a de plus dim(C(D))=n (par la question b)) =dim(Vect[I_n,D,...,D^{n-1}])

donc C(D)=Vect[I_n,D,...,D^{n-1}])

Posté par
croustiman27re : commutant d'une matrice diagonale 09-03-18 à 18:45

par contre j'aurais bien besoin d'aide pour la suite svp...

Posté par
croustiman27re : commutant d'une matrice diagonale 10-03-18 à 10:54

nobody?

Posté par
Camélia Correcteurre : commutant d'une matrice diagonale 10-03-18 à 15:02

Rebonjour

La suite c'est e)? En dimension 3 tu peux chercher directement le commutant! Si tu sais travailler par blocs, tu peux le faire.

Posté par
croustiman27re : commutant d'une matrice diagonale 11-03-18 à 11:17

Il reste une combinaison linéaire de I, D, D^2 a trouver pour la matrice \begin{pmatrix} 1 & 0& 0\\ 0&1 & 0\\ 0 &0 &0 \end{pmatrix}, que j'ai du mal à voir.

Posté par
Camélia Correcteurre : commutant d'une matrice diagonale 11-03-18 à 14:45

Mais pourquoi veux-tu cette matrice?

Posté par
croustiman27re : commutant d'une matrice diagonale 11-03-18 à 14:46

Simplement car c'est la suite de la question d)

Posté par
Camélia Correcteurre : commutant d'une matrice diagonale 11-03-18 à 15:02

Le polynôme trouvé en d) était valable pour Diag(1,2,3). Ici, on prend Diag(1,2,2), donc ce n'est plus le même argument, d'autant plus que cette fois le commutant n'est pas de dimension 3.
On te demande d'expliciter (plus ou moins) le commutant directement. Tu peux travailler par blocs si tu sais le faire.

Posté par
croustiman27re : commutant d'une matrice diagonale 11-03-18 à 15:08

Merci je vais chercher ça


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