Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau maths spé
Partager :

Commutant des matrices diagonalisables

Posté par
jlouisw
22-05-21 à 16:08

Bonjour,

je suis bloqué sur un exercice et j'aimerais bien avoir une indication.

Soit n*, A une matrice réelle de taille n diagonalisable.

C(A) = {M matrice de taille n / AM  = MA} (commutant de A)

C'(A) = {X matrice de taille n / MC(A)  MX  = XM}

1) Quelle est la dimension de C(A) ? A-t-on C(A) = [A] ?
2) Quelle est la dimension de C'(A) ? Comparer C'(A) et [A]

Pour la question 1), pas trop de soucis, je ne démontrer pas le résultat mais on trouve après calcul dim(C(A)) =a_1²+a_2² + ... + a_k² où k désigne le nombre de valeurs propres distinctes et a_i la multiplicité de la i ème valeur propre.

Puis on remarque que dim(C(A))n tandis que dim([A])n donc a priori, C(A) [A]  


Pour la question 2,  on peut dire qu'un élément de C'(A) commute en particulier avec une matrice diagonale (de diagonale les valeurs propres de A) donc cet élément est une matrice diagonale, d'où dim(C'(A))n puis réciproquement, les matrices diagonales conviennent donc finalement, dim(C'(A)) = n.

Pour la suite, je bloque un peu, je ne vois pas trop quoi dire à part dim([A]dim(C'A) ...


Merci d'avance pour votre aide

Posté par
phyelec78
re : Commutant des matrices diagonalisables 22-05-21 à 19:52

Bonjour,

question 1) Dans votre réponse vous supposez que A est diagonale à valeurs propres distinctes 2 à 2.  Hors dans votre énoncé on vous dit juste que A est diagonalisable. Je pense que vous répondez à un cas particulier. A mon avis , il faut démontrer que C(A) est un sous espace vectoriel de Mn(R), et donc dim C(A) =n, les matrices I,A,A2,......,An-1 forment une base de C(A)

Posté par
jlouisw
re : Commutant des matrices diagonalisables 22-05-21 à 20:13

Bonjour, pour la question 1 je liste simplement les valeurs propres, que j'écris a_1², ... a_k² où les a_i sont deux à deux distincts. Si dans ma liste une valeur propre apparait 2 fois, je l'enlève de la liste...  Je ne pense donc pas répondre à un cas particulier. De toute manière je sais ce résultat juste car on l'a démontré en cours (et trouvable facilement sur internet).

Par contre vous me faite remarquer que  je n'ai pas démontré que le C(A) est un espace vectoriel, ce qui est trivial comme résultat mais important pour parler de dimension. Merci.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Commutant des matrices diagonalisables 22-05-21 à 22:12

Bonjour


il me semble que les quantités a_1,...,a_k désignent plutôt les dimensions des espaces propres associés


aux k valeurs propres réelles distinctes \lambda_1,...,\lambda_k de la matrice réelle A (supposée diagonalisable dans \mathcal M_n(\mathbb R)).


On a donc \Large \boxed{a_1+...+a_k=n} et A est semblable, dans \mathcal M_n(\mathbb R), à la matrice diagonale D=diag\left(\lambda_1I_{a_1},...,\lambda_kI_{a_k}\right)


I_{a_i} désigne la matrice unité de taille a_i.

Posté par
phyelec78
re : Commutant des matrices diagonalisables 22-05-21 à 22:38

Je d'accord avec ce qu'écrit Elhor_abdelali.

sinon , OK, c'est pertinent de vous appuyez sur vos résultats de cours dont je n'ai pas la visibilité, d'où ma réponse générale.

Pour la question 2) La différence entre la C(A) et C'(A) c'est que vous ne savez pas si M est diagonalisable (idem pour X). Vous pouvez supposez que M est trigonalisable.Il faut résoudre MX-XM=0 , on peut supposer M triangulaire supérieure.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Commutant des matrices diagonalisables 22-05-21 à 22:59

D'après le cours, on sait que le commutant \mathcal C(A)=\{M\in\mathcal M_n(\mathbb R)~/~MA=AM\} d'une matrice A\in\mathcal M_n(\mathbb R)

est une sous-algèbre de l'algèbre \left(\mathcal M_n(\mathbb R),+,.,\times\right) qui contient la sous-algèbres \mathbb R[A] des polynômes en A (cette dernière étant de dimension n)

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Commutant des matrices diagonalisables 23-05-21 à 15:04

une petite coquille dans mon dernier message

Citation :
...qui contient la sous-algèbres \mathbb R[A] des polynômes en A (cette dernière étant de dimension n)


lire plutôt :

Citation :
...qui contient la sous-algèbres \mathbb R[A] des polynômes en A (cette dernière étant de dimension inférieure ou égale à n)

Posté par
jandri Correcteur
re : Commutant des matrices diagonalisables 23-05-21 à 16:28

Bonjour,

avec les notations de jlouisw, a_i désigne la multiplicité de la i-ème valeur propre, ou encore la dimension du i-ème sous-espace propre puisque A est diagonalisable.

Comme l'a dit elhor_abdelali que je salue, il faut écrire A=PDP^{-1} et raisonner avec la matrice diagonale D=diag\left(\lambda_1I_{a_1},...,\lambda_kI_{a_k}\right).

On montre alors facilement que \mathcal C(D) est l'ensemble des matrices qui s'écrivent diag\left(M_1,...,M_k\right) avec M_i d'ordre a_i.

Ensuite on en déduit que \mathcal C'(D) est l'ensemble des matrices qui s'écrivent D=diag\left(\alpha_1I_{a_1},...,\alpha_kI_{a_k}\right) où les \alpha_i sont des réels quelconques.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Commutant des matrices diagonalisables 23-05-21 à 19:00

Bonjour jandri


Très bonne idée ! On vérifie en effet assez facilement que l'application \Large \boxed{\left\lbrace\begin{array}l \Phi:\mathcal M_n(\mathbb R)\to\mathcal M_n(\mathbb R) \\ ~~~~~~~~~~~M\mapsto PMP^{-1} \end{array}}

est un isomorphisme d'algèbre qui envoie respectivement \mathcal C(A) sur \mathcal C(D) , \mathcal C'(A) sur \mathcal C'(D) et \mathbb R[A] sur \mathbb R[D] sauf erreur de ma part bien entendu



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1741 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !