Bonjour,
je suis bloqué sur un exercice et j'aimerais bien avoir une indication.
Soit n*, A une matrice réelle de taille n diagonalisable.
C(A) = {M matrice de taille n / AM = MA} (commutant de A)
C'(A) = {X matrice de taille n / M
C(A) MX = XM}
1) Quelle est la dimension de C(A) ? A-t-on C(A) = [A] ?
2) Quelle est la dimension de C'(A) ? Comparer C'(A) et [A]
Pour la question 1), pas trop de soucis, je ne démontrer pas le résultat mais on trouve après calcul dim(C(A)) =a_1²+a_2² + ... + a_k² où k désigne le nombre de valeurs propres distinctes et a_i la multiplicité de la i ème valeur propre.
Puis on remarque que dim(C(A))n tandis que dim(
[A])
n donc a priori, C(A)
[A]
Pour la question 2, on peut dire qu'un élément de C'(A) commute en particulier avec une matrice diagonale (de diagonale les valeurs propres de A) donc cet élément est une matrice diagonale, d'où dim(C'(A))n puis réciproquement, les matrices diagonales conviennent donc finalement, dim(C'(A)) = n.
Pour la suite, je bloque un peu, je ne vois pas trop quoi dire à part dim([A]
dim(C'A) ...
Merci d'avance pour votre aide
Bonjour,
question 1) Dans votre réponse vous supposez que A est diagonale à valeurs propres distinctes 2 à 2. Hors dans votre énoncé on vous dit juste que A est diagonalisable. Je pense que vous répondez à un cas particulier. A mon avis , il faut démontrer que C(A) est un sous espace vectoriel de Mn(R), et donc dim C(A) =n, les matrices I,A,A2,......,An-1 forment une base de C(A)
Bonjour, pour la question 1 je liste simplement les valeurs propres, que j'écris a_1², ... a_k² où les a_i sont deux à deux distincts. Si dans ma liste une valeur propre apparait 2 fois, je l'enlève de la liste... Je ne pense donc pas répondre à un cas particulier. De toute manière je sais ce résultat juste car on l'a démontré en cours (et trouvable facilement sur internet).
Par contre vous me faite remarquer que je n'ai pas démontré que le C(A) est un espace vectoriel, ce qui est trivial comme résultat mais important pour parler de dimension. Merci.
Bonjour
il me semble que les quantités désignent plutôt les dimensions des espaces propres associés
aux valeurs propres réelles distinctes
de la matrice réelle
(supposée diagonalisable dans
).
On a donc et
est semblable, dans
, à la matrice diagonale
où désigne la matrice unité de taille
.
Je d'accord avec ce qu'écrit Elhor_abdelali.
sinon , OK, c'est pertinent de vous appuyez sur vos résultats de cours dont je n'ai pas la visibilité, d'où ma réponse générale.
Pour la question 2) La différence entre la C(A) et C'(A) c'est que vous ne savez pas si M est diagonalisable (idem pour X). Vous pouvez supposez que M est trigonalisable.Il faut résoudre MX-XM=0 , on peut supposer M triangulaire supérieure.
D'après le cours, on sait que le commutant d'une matrice
est une sous-algèbre de l'algèbre qui contient la sous-algèbres
des polynômes en
(cette dernière étant de dimension
)
une petite coquille dans mon dernier message
Bonjour,
avec les notations de jlouisw, désigne la multiplicité de la
-ème valeur propre, ou encore la dimension du
-ème sous-espace propre puisque
est diagonalisable.
Comme l'a dit elhor_abdelali que je salue, il faut écrire et raisonner avec la matrice diagonale
.
On montre alors facilement que est l'ensemble des matrices qui s'écrivent
avec
d'ordre
.
Ensuite on en déduit que est l'ensemble des matrices qui s'écrivent
où les
sont des réels quelconques.
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