Bonjour,
Soit M une matrice, on note C(M) l'ensemble des matrices qui commutent avec M. On note A et B deux matrices semblables de Mn(K).
1. Demontrer que les espaces C(A) et C(B) sont isomorphes.
2. Soit A une matrice semblable à D= diag(1,-3,-3). Determiner la dimension du commutant de A.
Si M appartient à C(A) alors AM=MA pareil pour C(B) et comme A et B sont semblables A= PBP-1 apres jarrive pas a trouver d'isomorphisme entre C(A) et C(B)..
Salut,
Roh allez, l'isomorphisme a trouver est pas super tordu non plus :3
Petit indice pour la route, faut partir de AM=MA et remplacer A avec ta formule des matrices semblables.
prenons par un autre bout :
si et seulement si
(multiplier chacun des membres de la première égalité par
à gauche et
à droite).
Merci ^^ jai trouvé lisomorphisme qui à M associe P-1MP .
Je seche sur la 2 maintenant , comme A et D sont isomorphes,ils ont la meme dimension donc il suffit de determiner la dimension de C(D) pour avoir cellede C(A) ?
Un petit calcul simple te permettra de déterminer . Il peut être encore simplifié en utilisant une décomposition par blocs, en remarquant que
.
Je trouve que C(D) =.
Donc toutes ls matrices de ce type commutent avec D et apres jen determine une base pour trouver la dimension ?
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