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Niveau Maths sup
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Commutant dune matrice

Posté par
tris34
29-04-15 à 19:38

Bonjour,
Soit M une matrice, on note C(M) l'ensemble des matrices qui commutent avec M. On note A et B deux matrices semblables de Mn(K).

1. Demontrer que les espaces C(A)  et C(B) sont isomorphes.
2. Soit A une matrice semblable à D= diag(1,-3,-3). Determiner la dimension du commutant de A.

Si M appartient à C(A) alors AM=MA pareil pour C(B) et comme A et B sont semblables A= PBP-1 apres jarrive pas a trouver d'isomorphisme entre C(A) et C(B)..

Posté par
Robot
re : Commutant dune matrice 29-04-15 à 19:44

Remarque que  PMAP^{-1}= (PMP^{-1})(PAP^{-1}) .

Posté par
Wataru
re : Commutant dune matrice 29-04-15 à 19:45

Salut,

Roh allez, l'isomorphisme a trouver est pas super tordu non plus :3
Petit indice pour la route, faut partir de AM=MA et remplacer A avec ta formule des matrices semblables.

Posté par
tris34
re : Commutant dune matrice 29-04-15 à 20:38

Cest ce que jai fait et jsuis bloqué dès : PBP-1M = MPBP-1

Posté par
tris34
re : Commutant dune matrice 29-04-15 à 22:00

En fait, Robot j'arrive pas à utiliser ta formule...

Posté par
tris34
re : Commutant dune matrice 30-04-15 à 10:23

Posté par
Robot
re : Commutant dune matrice 30-04-15 à 11:06

prenons par un autre bout :
MPAP^{-1}= PAP^{-1} M  si et seulement si  P^{-1}MPA=AP^{-1}MP  (multiplier chacun des membres de la première égalité par P^{-1} à gauche et P à droite).

Posté par
tris34
o 30-04-15 à 11:24

Merci ^^ jai trouvé lisomorphisme qui à M associe P-1MP .
Je seche sur la 2 maintenant , comme A et D sont isomorphes,ils ont la meme dimension donc il suffit de determiner la dimension de C(D) pour avoir cellede C(A) ?

Posté par
Robot
re : Commutant dune matrice 30-04-15 à 13:12

Un petit calcul simple te permettra de déterminer C(D). Il peut être encore simplifié en utilisant une décomposition par blocs, en remarquant que  D=\left(\begin{array}{c|c}1&0\\ \hline 0&-3\,I_2\end{array}\right) .

Posté par
tris34
re : Commutant dune matrice 30-04-15 à 18:15

Je trouve que C(D)  = \begin{pmatrix} a_1 & 0 & 0 \\  0 & b_2 & b_3 \\ 0 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} .

Donc toutes ls matrices de ce type commutent avec D et apres jen determine une base pour trouver la dimension ?

Posté par
Robot
re : Commutant dune matrice 30-04-15 à 19:32

OK, à ceci près que ton écriture est incorrecte : l'ensemble des matrices qui commutent avec D n'est pas égal à une matrice.



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