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Commutateur du groupe diédral

Posté par
Bunk 23-11-14 à 12:00

Bonjour à tous, je dois calculer dans un exercice, le commutateur du groupe diédral et discuter suivant le cas pair ou impair.
Voici ma démarche. Je note r la rotation d'angle 2\pi /n et s la symétrie axiale, d'axe des abscisses.
[r^i,r^j]=Id
[r^i,r^j s]=(r^2)^i
[r^i s,r^j s]=(r^2)^{i-j}
Ainsi le commutateur de D_n est <r^2>. C'est maintenant que je bloque, j'arrive pas à discuter le cas n pair ou impair. En vous remerciant.

Posté par
Camélia Correcteurre : Commutateur du groupe diédral 23-11-14 à 15:26

Bonjour

Et [s,s]?

Il s'agit d'abord de décrire le sous-groupe cyclique engendré par r^2 dans le sousgroupe cyclique engendré par r

Posté par
Bunkre : Commutateur du groupe diédral 23-11-14 à 15:33

Ah oui, [s,s]=Id. Si n est impair, alors pgcd(n,2)=1 donc r^2 est un générateur et <r^2>=<r>. Est-il possible d'aller plus loin ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Commutateur du groupe diédral 23-11-14 à 15:34

D'abord dans ce cas c'est quoi le commutateur?

Dans le cas pair tu peux regarder mieux!


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