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Commutation d'endomorphismes
Bonjour
J'ai démontré que pour tout endomorphisme g de E, si un endomorphisme diagonalisable f de E dont les valeurs propres ont toutes pour multiple 1 commute avec g, alors tout vecteur propre V de f est aussi vecteur propre de g.
Maintenant je dois démontrer qu'un endomorphisme de E qui commute avec tous les autres endomorphismes de E a pour vecteurs propres tout vecteur de E non nul.
Puisque si g commute avec tous les autres endomorphismes, il commute avec tous les endomorphismes diagonalisables dont les valeurs propres ont pour multiple 1, et donc d'après ce que j'ai démontré auparavant, l'ensemble des vecteurs propres de ces endomorphismes est contenu dans l'ensemble des vecteurs propres de g.
Il ne me reste donc a priori "plus qu'à" montrer que cet ensemble de vecteurs propres, c'est E tout entier.
Mais voilà, je ne vois pas comment faire.
Instinctivement, ça parait évident, puisque ces endomorphismes diagonalisables dont les valeurs propres ont pour multiple 1 on peut surement en trouver "beaucoup" (voire une infinité), et donc il y a des chances pour que l'ensemble de leurs vecteurs propres recouvrent E tout entier, mais je n'arrive pas à le démontrer mathématiquement.
Une idée ? Merci d'avance.
Bonjour
C'est bien ça l'idée.
Tu prends un élément non nul de E. On peut toujours compléter une base
. Tu définis
par
et le tour est joué!
Euh... je crois comprendre, mais il y a quand même un petit hic, ça serait pas plutôt où C est une constante quelconque, au lieu de
?
Parce que si je définis u comme , j'aurais
,
, et au final
, et donc l'ensemble E tout entier ne serait pas recouvert (si V1 et V2 sont vecteurs propres, V1+V2 ne le serait pas forcément)
Tandis que si je définis u comme où C est indépendent de
, si V1 et V2 sont vecteurs propres, V1+V2 l'est aussi, etc...
On s'est mal compris... Tu devais considérer des endomorphismes qui ont valeurs propres distinctes. J'ai pris
un vecteur non nul quelconque, et j'ai construit un endomorphisme vérifiant les hypothèses, dont il est vecteur propre. Donc il est vecteur propre de
.
Cette construction peut se faire à partir de n'importe quel vecteur non nul.
Toi, tu proposes de prendre une homothétie, et commuter avec une homothétie, ce n'est pas un exploit!
Qui me dit que pour tout vecteur v de E, il existe un endomorphisme diagonalisable dont les valeurs propres ont toutes pour multiple 1 tel que f(v)=kv ?
Et quel rapport entre une base (v1, v2, ..., vn) de E et le fait que tout vecteur de E est vecteur propre d'un de ces endomorphismes si leur combinaison linéaire n'est pas forcément vecteur propre ?
Mais je viens de te le construire!
J'ai appelé le vecteur en question. J'ai dit qu'il existe une base qui commence par ce vecteur. J'ai défini un endomorphisme dont la matrice par rapport à cette base est
. Que veux-tu de plus?
Si je prends un autre vecteur j'aurai un autre endomorphisme, mais
doit commuter avec tous
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