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Commutation de matrices
Trouver les matrices qui commutent avec A =
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 3 | 1 | 2 |
Et trouver celles qui commutent avec A =
| a | b |
| 0 | a |
Je sais que A et B commutent ssi BA = AB
Je remarque aussi que la seconde est diagonale, mais pour les deux, je ne vois pas comment faire...
MERCI !
Une matrice est dite diagonale si elle est carrée et si en dehors de la diagonale principale il n'y a que des 0 .
Ceci dit , rien ne t'empêche de chercher tous les (x,y,z,t) tels que :
.
=
.
.
Il te faudra , bien sûr , discuter sur les (a,b) .
J'ai réussi pour la première matrice !
Pour la seconde, peut-être faut-il considérer 2 cas :
-> ab=0
->ab non nul ?
salut
à quoi sert cet indice n - 1 ?
que signifie ta question ?
puisque A et I commutent avec A il est évident que pour tout polynome P P(A) commute avec A
donc l'ensemble des matrices commutant avec A est le sous-anneau engendré par I et A ....
Bon,
Le polynôme caractéristique de A ,matrice carrée n x n est au plus de degré n et vérifie:
,d'où le degré n-1 pour P(A) ,
nous n'avons pas nécessairement besoin de recourir aux matrices diagonales et leurs transposées pour produire des matrices commutatives à partir d'une matrice A donnée .
Alain
Que l'ensemble des matrices commutant avec A contienne le sous-anneau engendré par I et A est clair .
Comment montres tu qu'il lui est-il égal ?.
0 ...Pour la 1, j'ai calculé XA et AX avec X =
Puis, j'ai dit que la coordonnée située 1ère ligne et 1ère colonne de XA était égale à celle située 1ère ligne et 1ère colonne de AX, et j'ai fait ça avec toutes les coordonnées.
Pour la 2, je ne comprends pas trop les méthodes que vous fournissez...
Par exemple, je n'ai pas encore vu la notion de sous-anneau (je suis en L1 et verrai ceci en L2).
Quant aux polynômes caractéristiques, je les ai jamais utilisés pour les commutations de matrices...
21h22 :: il est étonnant d'écrire les inconnues en colonne plutôt qu'en ligne ....
on écrit plutôt :
a b c
d e f
g h i
mais bon c'est un détail ...
oublie les digressions pour la 2/
fais comme la 1/ avec la matrice
x y
z t
les coefficients a, b et c de la matrice A sont considérés comme des paramètres ....
peut-être discuter suivant certaines valeurs de ces paramètres ...
Une autre façon de faire :
La matrice A : = est diagonalisable puisqu'elle a 3 valeurs propres réelles a,b,c .
Il existe donc P 
GLn(
) telle que P-1AP = D où D = Diag(a,b,c) =
Si C Mn() on a ; AC = CA SSI D.(P-1CP) = (P-1CP).D
Il est facile de trouver E := { B Mn() | BD = DB }
L'ensemble des matrices cherchées est alors { PBP-1 Mn() | B E }
Bon après-midi,
Réponse à maths21 ,j'ai utilisé des polynômes P pour la commutation de matrices, quant aux polynômes caractéristiques R ,ils nous permettent de réduire de limiter le degré des
polynômes P considérés.
ethniopal fournit une solution plus classique les matrices basée sur les matrices diagonales.
Alain
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