Bonjour,

D'après la définition de la commutativité, il faut montrer que (xy)^n= yx = xy = (yn)^n

salut

si pour tout x et y de E et tout n > 1  : (xy)^n = yx

alors pour tout x et x de E et tout n > 1 : (x^2)^n = x^2

donc x^2 = e neutre de e

Bonsoir,

Attention, l'énoncé ne dit pas "pour tout n", mais "il existe n".

On arrive facilement à montrer que (xy)(yx)=(yx)(xy) pour tout x et tout y.

Mais est-ce suffisant ?

Bonjour,

Merci à tous pour vos réponses!

En effet j'étais partie sur ces deux idées mais je n'aboutis à rien de plus que xy.yx=yx.xy comme il a été dit (qui n'est pas suffisant car tout élément de E n'est pas nécessairement un produit d'éléments de E) , ou encore x^2.y=y.x^2 et encore xy.xy=yx.yx.
Avec cette dernière identité, j'arrive à montrer le résultat mais seulement dans le cas où n est pair.

Maintenant si j'écris (x(yz))^n=(yz)x=y(zx) et ((xy)z)^n=z(xy)=(zx)y
j'ai la commutativité de tout élément de E avec tout produit d'éléments de E.

Donc (xy)^n= xy.xy...xy.xy n fois= xyy.xy....xy.x (commutativité de y avec les produits yx)=yxyx.xy.xy...yx (commutativité de y avec xy)(yx)^n
On a donc (xy)^n=(yx)^n et donc yx=xy qu'en pensez vous ?

Bonjour,

Merci à tous pour vos réponses!

En effet j'étais partie sur ces deux idées mais je n'aboutis à rien de plus que xy.yx=yx.xy comme il a été dit (qui n'est pas suffisant car tout élément de E n'est pas nécessairement un produit d'éléments de E) , ou encore x^2.y=y.x^2 et encore xy.xy=yx.yx.
Avec cette dernière identité, j'arrive à montrer le résultat mais seulement dans le cas où n est pair.

Maintenant si j'écris (x(yz))^n=(yz)x=y(zx) et ((xy)z)^n=z(xy)=(zx)y
j'ai la commutativité de tout élément de E avec tout produit d'éléments de E.

Donc (xy)^n= xy.xy...xy.xy n fois= xyy.xy....xy.x (commutativité de y avec les produits yx)=yxyx.xy.xy...yx (commutativité de y avec xy)=(yx)^n
On a donc (xy)^n=(yx)^n et donc yx=xy qu'en pensez vous ?

Bonjour,
@Sanseverina,
J'ai l'impression que ta démonstration fonctionne. Mais...
Il faut préciser comment on trouve n commun à plusieurs produits.
Par exemple, montrer l'existence d'un même n pour les 2 égalités
(x(yz))ⁿ = (yz)x et ((xy)z)ⁿ = z(xy)

Bonjour

Alors, pas de difficulté

Finalement, pour démontrer (xy)ⁿ = (yx)ⁿ , on peut se contenter de démontrer que y commute avec xy et yx .

x(yy) = (xy)y donc (x(yy))ⁿ = ((xy)y)ⁿ donc (yy)x = y(xy) donc y(yx) = (yx)y .

y(yx) = (yy)x donc (y(yx))ⁿ = ((yy)x)ⁿ donc (yx)y = x(yy) donc y(xy) = (xy)y .

Bonsoir !
Remarque : la démonstration a supposé implicitement car, sans élément neutre on ne peut pas définir , mais ce n'est pas grave puisque le cas c'est la solution !

@Sylvieg

La conclusion mérite un petit post, car par roulé-boulé (c'est encore mieux que le cirque Pinder), le y se retrouve au début (avec n = 4)

yx = (xy)⁴=(xy)(xy)(xy)(xy) =(xy)(xy)y(xy)x=(xy)y(xy)(xy)x=y(xy)(xy)(xy)x

Et par associativité :

yx =(xy)⁴=(yx)(yx)(yx)(yx) = (yx)⁴ = xy

Bonjour,
C'est Sanseverina qu'il faut féliciter
D'autant plus qu'en regardant ces jolis y bleus je m'aperçois qu'il est inutile de faire du roulé-boulé :

Bonjour !
Je ne vois pas pourquoi vous vous obstinez à prendre ce cas particulier !
Et encore moins de penser à une récurrence !

Soit et il n'y a rien à faire.
Sinon (avec utilisation du résultat de Sanseverina).

Nous ne nous obstinons pas, nous illustrons
Et toi, pourquoi t'obstines -tu à traiter n = 1 alors que l'énoncé donne n2 ?

parce qu'on n'était pas obligé d'imposer n > 1 ...

mais évidemment le cas n = 1 étant une trivialité le but du jeu c'est de le prouver lorsque n > 1

Bonjour Sylvieg

Bonjour,

Ravie de voir que cet exo ai suscité autant de réactions

J'adopte en définitive la version de Sylvieg (je n'avais pas vu que (xy)^n-1x est directement un produit d'élément de E..) permettant d'éviter le roulé boulé du y que je n'aimais pas trop non plus !

PS: En essayant de trouver un prolongement à l'exercice, je remarque que dans un magma associatif verifiant (xy)^n=yx, tout produit xy d'éléments engendre donc un sous magma {(xy)^k}, k entre 1 et n-1 possédant un neutre (xy)^n-1 et dans lequel tout element admet un symetrique (xy)^n-k-1. Un groupe donc !

Je ne sais pas si ça peut avoir quoi que ce soit d'intéressant mais dans l'idée d'apporter un conclusion...

L'idee du sous-magma engendré par xy :  c'est comme ça que j'ai commencé . Attention : Son ordre est n² et pas n-1  il n'a aucune raison de posséder un élément neutre  A priori

Quand je parle de son ordre, il s'agit de son ordre a priori bien sûr, pas a posteriori.

Bonsoir Sanseverina,
L'exercice était intéressant
Pour ce qui est du prolongement, je suis d'accord et le précise.

L'exercice : Si (E, .) est "un magma associatif tel qu'il existe n supérieur ou egal à 2 tel que pour tout x,y de E, (xy)ⁿ = yx " alors la loi . est commutative.

Le prolongement avec a et b deux éléments quelconques de E :
F = {(ab)^k, k entier de 1 à n-1}
(F, .) est un sous magma possédant un neutre (ab)^n-1 et est en fait un groupe commutatif d'ordre au plus n-1 .

Ce qui serait sympa, c'est de trouver un exemple non trivial d'un tel magma
Exemple trop trivial : E = {1,-1,i,-i} avec et n = 5