Je suis désolé de vous déranger encore mais...pour la question d je pense prendre un intervalle fermé et borné centré en tout point de R \ {1/n n non nul} Je ne vois pas bien cez que le fait de retirer encore 0 apporte en plus ou en moins. Je dois mal comprendre LA NOTION;

Merci de toute aide apportée et bonne nuit à tout le monde.

l'ensemble {1/n n naturel non nul} U {o} est évidemment compact car l'ensemnle des termes d'une suite (xn) et sa limite x :{xn n N} {x }est un compact.mais je sé pa si'il est localement compact

Un espace topologique est dit localement compact s'il est séparé et si tout point de admet au moins un voisinage compact.
Ainsi tout espace topologique compact est localement compact. (sauf erreur bien entendu)

Bonjour,
désolé de contrarier mais je n'ai jamis vu la condition "séparé" dans la définition de la locale compacité. Un espace est localement compact si pour tout point il existe un voisinage compact. Ce voisinage est cséparé car dans la définition française de compact la séparation y est intégrée. Mais, l'espace formé en "dédoublant" le zéro de R munie de sa topologie usuelle est un exemple classique d'espace localement compact non séparé.
Un espace compact K est localement compact car prenons un point x de K, K contient x, est ouvert donc est un voisinage est es compact par hypothèse. Il existe donc trivialement un voisinage compact pour tous les points. K est localement compact.

Revenons au post initial.
Pour le a), rien à ajouter
Pour le b) {1/n} est compact, c'est la partie évidente, mais pourquoi est-ce un voisinage ? {1/n} n'est pas un voisinage dans R mais il l'est dans l'espace considéré Ce dernier point mérite donc d'être justifié plus rigoureusement.
Pour le c) et le d), spirou, tu es bien parti à ton post #2 mais il faut justifier le fait que tu puisses prendre un intervalle fermé (donc ne rencontrant aucun des points d'abscisses 1/n, sinon adieu l'intervalle) contenant le point considéré en son intérieur ({x}=[x;x] est un intervalle fermé mais ne contient pas x en son intérieur donc ne convient pas comme voisinage.
En faisant cela, tu verras, je pense, que 0 pose problème* et qu'un des deux complémentaires est localement compact mais pas l'autre.
* : ceci ne montre que cette voie n'est pas possible il faudra être plus rigoureux pour montrer que 0 n'a pas de voisinage compact.

Cordialement

Pourquoi "K est ouvert" ? Un compact n'est pas forcément ouvert, c'est même faux en dimension finie, non ?

Pour la définition de la compacité locale voir par exemple:

merci à tous du temps consacré pour moi. En réponse à GYU voici ce que je pense maintenant pour d avec ses suggestions.

d) soit E= R \ {{1/n n naturel non nul} U{0}}
   soit x un réel n 'appartennant pas à l'intervalle [0,1]. Prennons pour voisinage de x le fermé borné [x - a, x + a] avec a positif plus petit que la distance de x à 0 si x est négatif et plus petit que la distance de x à 1 si x est positif.
   si x est dans l'intervalle ]0,1] il existera n tel que 1/n+1 < x < 1/n et je prends alors le fermé borné [x - 1/a,x + 1/a] avec a= 2n(n+1)
   E est donc localement compact.
je comprends mieux pourquoi l'autre complémentaire ne l'est pas car dans un intervalle centré en 0 on trouvera toujours un 1/n .Il y a donc un trou et l'intervalle n'est plus compacte.
gyu , peux-tu vérifier mon raisonnement.Pour le b, dois-je considérer que il s'agit d'un sous ensemble de R ou d'un ensemble en tant que tel ? Dans mon cours, on parle de compacité locale pour un espace...Peux-tu encore m'éclairer. Un grand merci à tous . Je trouve que la topologie n'est pas la partie la plus amusante du cours... Spirou

je me suis trompé dans la valeur de a. Si 1/n+1 < x < 1/n prendre comme voisinage [x -a,x +a] avec a= min {d(x,1/n) , d(x,1/n+1)} le tout divisé par deux.

Re,
spirou ton d) est bon.
Une petite aide supplémentaire pour montrer que le complémentaire de {1/n ; n entier>0} est non localement compact à cause du 0 : montrer qu'un voisinage de 0 n'est jamais fermé (donc certainement pas compact) à cause de l'adhérence des {1/n}.
Pour le b), X={1/n ; n entier>0} est un espace avec une topologie (donc aspect "ensemble à part) mais cette topologie vient de R (donc aspect "ensemble de R). L'intersection de X avec un ouvert de R est un ouvert de X. (On y retrouve ces deux aspects) Plus important avec cela on montre que {1/n} est un ouvert de X ce qui termine la preuve.

Cordialement

un tout tout grand merci.