Bonsoir Rouliane

En fait, quand on dit ouvert, on sous-entend ouvert de [0,1], c'est-à-dire l'intersection d'un ouvert de avec [0,1].

Kaiser

Merci Kaiser.

Mais là il faut que j'écrive [0,1] comme une union d'ouvert ou pas ?

Pas exactement ! D'ailleurs, j'avais pas tilté !

attends, j'ai peut-être mal compris ta question !

Kaiser

Je comprends rien du tout

T'embetes pas Kaiser, je vais passer au chapitre suivant, là c'est trop abstrait  pour moi

En fait, il faut considérer une famille d'ouverts de [0,1] (I étant un ensemble quelconque d'indices) tels que


Il faut montrer qu'il existe un sous-ensemble fini J de I tel que
C'est mieux ou c'est pire ?!

Kaiser

Ben ça j'avais compris en fait

Mais il faut bien que l'explicite les dans l'écriture :   ?

euh pas vraiment ! On sait simplement que ce sont des ouverts (d'ailleurs, ces ouverts peuvent être compliqués) et on ne fait que supposer leur existence.

Kaiser

ah d'accord, c'est ça que je comprenais pas.

Mais je vois toujours pas ce qu'il faut faire après

tu veux dire : comment résoudre ce problème ?

Kaiser

disons que ça ma l'air très abstrait, je pensais qu'on pouvait écrire directement [0,1] comme union d'ouvert et que c'était réglé

Si c'était le cas alors tout ensemble serait compact.
En effet, tout ensemble A est un ouvert de lui-même et donc c'est la réunion d'un ouvert (donc un nombre fini), d'où l'importance de se donner un recouvrement quelconque d'ouverts.

Kaiser

ah oui, c'est vrai.

Je réfléchirais à ça demain

oki !

Kaiser

bonjour
[0,1]
comme intersection d'ouvert de  [0,1];
or les ouverts de cet intervalle il faut les trouver en s'aidant( en pensant)à un autre intervalle dont on ne parle pas (assez),R
R=U n-1/p,n+1/p  intervalles ouverts
tu prends alors l'intersection avec [0,1]
n=1  p=1 donne   -1+1,1+1  intrvalle ouvert c 'est à dire 0,2
avec n=1  p=2    ca donne 1/2,3/2  ouvert
n=1  p=3    ca d6nne  2tiers,4/3   ouvert
etc...
tu coupes cette liste d 'intervalle par [0,1]
tu obtiens 1-1/p,1+1/p   inter   [0,1]
appelle ces intersections Up
ce sont des ouverts en nombres infinis dénombrables
comment en extraire un recouvrement fini?

tu prends U1et U(p+1)par exemple
ok
le plus dure c est que le recouvrement du départ est défini par une suite bien choisie à cheval sur celui sur lequel tu travailles

Bonjour à tous

Je trouve très contreperformant d'essayer de montrer que [0,1] est compact à partir de cette définition. Il s'agit d'un métrique, donc on a à sa disposition Bolzano-Weierstrass, et en plus on est dans un EVN de dimension finie dans lequel compactfermé et borné.

La démonstration par Borel-Lebesgue dans le cas de [0,1] est pratiquement aussi difficile que la démonstration générale de l'équivalence avec BW dans un métrique. C'est pourquoi on fait celle-ci une bonne fois pour toutes et on n'y revient pas!