euh pour l'écart d de la convergence uniforme, si j ai bien compris, c est un écart sur défini par :
,

où pour tout , est aussi un écart sur .

Bonjour,
je pense que le mieux est de faire un raisonnement par l'absurde.

Supposons que la fonction nulle possède un voisinage compact. Alors pour k assez petit
la suite (fn) va se trouver dans ce voisinage compact. On devrait donc pouvoir en extraire
une sous-suite convergente. Ce qui n'est pas le cas.

Reste alors à montrer que (fn) ne possède pas de sous-suite convergente.
Dadou

Utilise le critère de cauchy uniforme puis choisis des x bien placés qui t'amènent à une contradiction....

salut dadou et Rodrigo.
Effectivement cet énoncé m'a tellement embrouillé
que j ai oublié de préciser que cette suite que j'ai défini au premier post n'admet aucune sous-suite convergente,
et c'est l'un des premiers points que je ne comprends pas.
Donc si je me réfère à Rodrigo j'essaie donc d'utiliser le critère de Cauchy uniforme qui ne va pas marcher pour certaines valeurs de [0,1].

Ensuite j'utilise la compacité séquentielle au sein d'un raisonnement par l'absurde comme me dit Dadou pour k assez petit,
pour en déduire qu'un tel voisinage compact ne peut exister.

ok je tente. merci

pardon.

C'est ça...

ok ben donc je fixe k>0, puis j'essaie d'utiliser le critère de cauchy uniforme avec .
Je suppose qu il existe un naturel tel que pour tous entiers p,q tels que
on ait pour tout .

En particulier pour .

Ensuite je choisis un entier pair ,
et j ai donc
, et


D'où .

Ce qui est absurde. J 'espère ne pas avoir fait d'erreur.
Donc j'ai montré que la suite ne respecte pas le critère uniforme,
mais en quoi je peux en déduire qu'elle ne possède pas de sous-suite convergente?

AH oui j avais oublié le résultat suivant :

"Toute suite partielle infinie d'une suite de Cauchy en est une.
Si une suite partielle d'une suite de Cauchy converge vers un point f, la suite donnée converge aussi vers un point f".

Donc en contraposant j'en déduis que la suite n'admet pas de suite partielle convergente. OK

Bon par contre je vois pas trop à quoi ça "ressemble" un voisinage compact de la fonction nulle sur [0,1]. Peut-on décrire ce voisinage à l'aide de boules?

C'est un peu plus compliqué que ça, il te faut appliquer le criyère de cauchy sur une sous suite, car tu dois prouver qu'aucune sous suite ne converge.

En récfléchissant un peu tu vas t'apercevoir, quil faut nécéssairement que ton x bouge en fonction de n (théorèmen de Bolzano Weirerstrass).

Ca t'aide.

En ce qui concerne le voisinage de 0, ben comme la norme des fn est k, on voit que pour un voisinage de 0, donné tu peut trouver k tel que, la suite (fn) soit dans ce voisinage.

Aïe ! Donc je fais n'importe quoi, bon je vais essayer le critère uniforme sur une sous-suite quelconque.
Oui c'est vrai que ma suite n'est pas une suite de Cauchy donc, je peux pas utiliser la contraposition, déjà.

Donc si je passe de la suite à l'une de ses suites par une application strictement croissante je dois trouver un x en fonction de ou de n?

Bon je vais chercher, merci en tout cas Rodrigo pour tes conseils.

Oui tu fixes une certaine fonction d'extraction tel que converge uniformément alors cette suite vérifie le critère de cauchy uniforme, puisqu'elle converge.

C'est à dire que peut etre rendu arbitrairement petite pour peu que n soit assez grand, tu te fixe un epsilon, et tu prend le epsilon correspondant. Alors et tu prends et tu montre que tend vers 1 quand p tend vers l'infini, ce qui apporte une contradiction.

Heu jevoulais dire "tu prends le n (pas le epsilon) correspondant"

Ok c'est j'ai compris cet exo, merci pour tes conseils et ta patience Rodrigo.