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Compacité
Bonjour,
Je veux montrer que " Toute partie fermée F d'une partie compacte A est compacte "
Voici ma démo :
Je considère une suite d'éléments de F et je vais montrer qu'elle admet une sous-suite convergente dans F. ( Bolzano-Weierstrass )
La suite est une suite d'éléments de F, donc de A. Donc, par compacité, il existe une sous-suite
qui converge dans A. Comme F est fermée, cette sous-suite d'éléments de F converge dans F.
Donc finalement on a montré que toute suite d'éléments de F admet une sous-suite qui converge dans F. Donc F est compact.
Est-ce correct ? 
Bonjour,
non ce n'est pas correct parce que la compacité n'est pas équivalente à la propriété de Bolzano-Weiestrass.
Recouvre F par des ouverts. O_i
Ajoute maintenant le complémentaire de F dans K que tu appelles mettons X.
L'union des O_i et de X te donne K, qui est compact, donc ...
Bonjour Otto,
Je comprends pas dans mon livre j'ai :
Théorème 1 ( De Bolzano-Weierstrass ) : Un espace métrique (E,d) est compact ssi de toute suite de points de E, on peut extraire une sous suite convergente dans E.
Tu n'avais pas précisé que tu travaillais sur un espace métrique.
Le résultat est encore vrai dans les espaces non métriques et la preuve que je donne est donc plus générale.
Si tu te restreins aux espaces métriques, ta démonstration est bonne.
a+
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