re romu

Commence par montrer que Y est toujours fermé.

indication pour le sens direct : Il faut nécessairement que Y soit borné.

Kaiser

oui est fermé car c'est l'image réciproque de par la fonction polynômiale (et donc continue) .

Mais c'est justement montrer que est borné qui me perturbe.

pour qu'on soit bien d'accord : tu fais quel sens ?

Kaiser

je fais le sens direct, et c'est vrai que là je me paume, la question que je viens de poser était pour l'autre sens.

Bon donc le fait que est borné doit être équivalent à est pair et .

Dans les deux en fait je ne vois pas le lien entre Y est borné ou non et le degré de n?

Il faut voir Y sous cette forme : Si x est un réel, alors x fera parti d'un couple (x,y) de Y si et seulement si P(x) est positif (en effet, si (x,y) appartient à Y, alors P(x)=y² est positif et réciproquement, si P(x) est positif, alors x fait partie du couple (x,y) où y est la racine carrée de P(x)) Bref, il faut que l'ensemble des x tels que P(x) est positif soit borné.

Ceci te donne ce que tu veux.

Kaiser

Petit conseil : essaie de raisonner par contraposée (si n est impair ou si le coefficient dominant est strictement positif, que se passe-t-il ?)

Kaiser

ok j'ai compris la nouvelle caractérisation de , mais je viens de découvrir que je ne connais pas vraiment les variations d'un polynôme en fonction de ses coefficients et de son dégré.
Je fais mon étude de variation demain à tête reposé.

Bonne nuit et merci pour tes conseils.

Bon déjà,

.

Donc quand . Il ne reste plus qu'à voir entre les deux infinis.

On n'a pas besoins des variations du polynôme, uniquement de son signe (ou plutôt connaitre des zones où connaitra le signe du polynôme à coup sûr).

Pour ton message de 08h56 : imaginons que n soit impair.

Donne moi une "zone" où les P(x) seront positifs à coup sûr.
Idem si le coefficient est strictement positif.

Kaiser

On sait que 0 est dans une de ces zones car P(0)=0.

Mais après j'ai du mal:

,

ie ,

ie

et là je ne vois pas comment continuer pour détecter une telle zone

Quand c'est un monôme ça me semble plus facile:

,

ie et quelque soit ,

ie doit être du même signe que .

Tout doucement, on se calme :
voici une indication : dans les cas où n est impair ou le coefficient dominant est strictement positif, intéresse-toi au signe de P(x) lorsque |x| est très grand.

Kaiser

ah oui, j'avais pas fait attention, par rapport à ce que j'ai dit ce matin,

Si , il existe tel que pour .

Et si , il existe tel que pour .

et oui il sont pas compacts ces ensembles, donc on les rejette.

c'est ça.
Et si n est impair (quel que soit le signe du coefficient dominant) ?

Kaiser

oui et encore par rapport à ce que j'ai dit à 8h56, si n est pair on peut se ramener à un trinôme du second degré et en déduire facilement que pour avoir le compact.

euh tu fait quel sens là ?

Kaiser

message 16h51 : précise (pourquoi ?)

Kaiser

car quelque soit le signe du coefficient dominant, on a vu dans mon message de 16:41 que cet ensemble contient une partie non bornée.

OK.

message de 16h57 : tu faisais l'autre sens ?

Kaiser

non je me suis très mal exprimé, en fait.

La question pour l'instant c'est quand est-ce que est compact.

donc on a vu que quand est impair n'est pas compact.  Donc doit être pair (nécessaire).


Si est pair:

"au voisinage des infinis".

Je regarde alors ce monôme dans le cas où : "au voisinage des infinis", donc ne peut être compact car non borné.

Une condition nécessaire de plus pour que soit compact est que .

Et reste avoir si c'est suffisant pour que soit compact.

OK, donc maintenant, on fait l'autre sens.

Supposons donc n pair et le coefficient dominant strictement négatif.

Kaiser

ok, encore en utilisant l'équivalent et le fait que "au voisinage des infinis", on en déduit qu'il existe un réel tel que .

De plus , donc est fermé.

Donc est fermé borné dans IR, donc compact.

toutafé !

Kaiser

ok maintenant je vais revoir tout ça, c'est beaucoup plus clair maintenant.

Merci Kaiser.

Mais je t'en prie !