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compacité
bonjour
j'ai quelque petits problèmes à mettre en forme la réponse d'un exercice voila l'énoncé:
Soient E1 et E2 deux espaces métriques. Soient K1 un compact de E1, K2 un compact de E2 et U un ouvert de E1
E2 contenant K1K2.
Il faut montrer qu'il existe un ouvert U1 de E1 contenant K1, et un ouvert U2 de E2 contenant K2 tels que K1K2
U1U2U
On peut résonner en disant supposant que U1U2 est l'intérieur de U et comme K1 et K2 sont compact donc fermés bornés il existera une boule ouverte qui n'est pas dans K1 mais qui est inclue dans U1 de même pour K2 ???? (c'est un peu grossier comme démonstration mais c'est pour savoir si c'est dans cette direction qu'il faut partir)
merci d'avance pour votre aide
Salut,
tu fixes .
Pour tout il existe un ouvert
de
et un ouvert
de
tels que
.
Donc recouvre
.
On extrait un sous-recouvrement fini .
Ensuite on définit:
qui est ouvert dans
,
qui est ouvert dans
.
recouvre
, on en extrait un sous-recouvrement fini
.
On pose alors
qui est ouvert dans
,
qui est ouvert dans
,
et on a bien ,
,
donc .
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