Soient A compact et B fermé dans et n (a(n) , b(n)) AB une suite telle que  a(n).b(n)   x  .
Il existe une sous suite  u = a o   de a qui  converge vers un élément s de A . Je pose u = b o . On a  u(n).v(n) x .
Supposons s 0 .
v(n) tend donc vers x/s (que je note t ) qui est dans B puisque B est supposé fermé .  La relation x = s.t montre que x A.B .

   Il reste à voir ce qu'il arrive si toutes les suites extraites de u convergent vers 0 . Mais dans ce cas 0 A et x = 0 A.B

Bonjour
Pour simplifier je note une note une suite  extraite  comme la suite  initial
Tu peux commencer comme cela:
tu as ta  suite extraite a_n b_n qui converge vers x avec a_n qui converge vers a\in A.

Tu supposes d'abord que  . Quite à encore choisir une suite extraite tu peux supposer que les a_n sont .

On a donc   qui converge vers x/a. Tu poses x/a=b et bien sûr B car B est fermé et donc x=ab est bien dans X, X=A.B est fermé.

Si a =0 et si la suite b_n est bornée alors  x=0 et  appartient   à X (car 0 appartient à A.  

Si a =0 et si il n'y a pas de sous suite constamment égale à 0  (sinon c'est fini)  
et si la suite b_n n'est pas bornée (par exemple b_n tend vers )     et la limite x n'est pas égale à 0 (sinon c'est fini.)

On a a_ . Mais à partir d'un certain x/b_n est dans A. Ce qui implique x est encore dans X;    

Correction
Pour simplifier je note toute suite  extraite  comme la suite  initiale

Bon j'avais pas vu la réponse!!

Rebonjour
Sinon je propose cette autre démonstration.
Si B est borné alors B est un compact et est un compact de
L'application étant continue alors X=A.B=f( A\times B)
est un compact.

Si maintenant B n'est pas borné. On pose
avec le même raisonnement que si dessus X_n=A.B_n est fermé.
Une suite   x_j=a_,j b_j qui converge vers x est donc bornée donc à partir d'un certain
rang  est elle dans un ensemble X_n donc la limite x est dans X_n donc dans X.    

Bonjour jb2017.
J'apprécie l'élégance de ta démo.
Mais un détail me chagrine : si A et B sont fermés non bornés.
Avec le même concept et tes notations, et sont compacts et est fermé (et même compact)
Si est une suite convergente de , elle est bornée et elle est dans un donc la limite est dans X.
Autrement dit, où utilise-t-on de façon vitale que A est compact ?

Bonjour @jvsdb. Tu as tout à fait raison de faire cette remarque.
Il y a peut être une faille dans  ma démonstration. Je réfléchis.

L'erreur est là: "la suite (x_n=a_n b_n) est bornée implique qu'elle est dans X_n à partir d'un certain rang". C'est faux parce que la suite (a_n) peut converger vers 0 et la suite (b_n) peut ne pas être bornée. Mon but était d'éviter la discussion que l'on a dans le cas où 0 est dans A . C'est donc  raté. Je conseille donc à Starfish d'oublier cette dernière proposition  

Merci à   tous les trois pour vos réponses claires

Est ce que vous auriez une idée pour l'exemple A.B non fermés avec A et B fermé ?
Je me dis que pour a il faut un ensemble  fermé non borné dans le style [a, inf [ mais pour B?

Bonjour à tous.

Il est faux que si est compact et si est fermé, alors,  tex]A.B[/tex] est fermé.
L'exemple suivant le démontre:

      et      

est compact,   est fermé,  
Et il est bien connu que n'est pas une partie fermée de

etnopial et jb2017 n'auront pas de mal à voir où se trouve la faute dans les solutions qu'ils ont données.

En ce qui concerne Starfish, l'exercice comporte donc une erreur d'énoncé. On peut rectifier de deux manières:

    1) On précise que la partie compacte A ne contient pas 0.

    2) On remplace A.B par A+B : dans ce cas, l'exercice est très classique et très souvent posé.

Rebonjour
Décidément j'ai tout faux. Bien vu@perroquet  
Prenons On approche par une suite de rationnels  de la forme
   .....!!!!

Non jb2017, tu n'as pas "tout faux", tu nous a dégoté une excellente occasion de comprendre plus en profondeur certains mécanismes. C'est plus positif, merci à toi !

Du coup, comme le dit perroquet, on peut structurer l'étude du problème en gardant la multiplication :

1/ A et B sont compacts et jb2017 a montré sans détour que A.B est compact

2/ A et/ou B n'est pas borné et A et B ne contiennent pas zéro (ou 0 est au pire isolé dans les deux). Il existe donc un voisinage (éventuellement privé de 0) de 0 qui ne soit ni dans A ni dans B.

3/ A et/ou B n'est (ne sont) pas borné(s) et 0 n'est pas isolé dans l'un des deux : peut-être distinguer encore des cas selon la bornitude et l'appartenance de 0.
Ça devrait recouvrir deux cas génériques :

- A compact, B non borné avec comme sous-cas :

... avec 0 non isolé dans A
... avec 0 non isolé dans B

- A non borné, B non borné avec comme unique sous-cas :

... avec 0 non isolé dans A

Oui bien sûr tout n'est pas faux et on y voit plus clair. Mais tout de même...
C'est l'intérêt du forum d'avoir plusieurs solutions et aussi de ne pas laisser passer de coquilles.

Il peut être intéressant de regarder ceci :

si   est une suite strictement décroissante vers 0, on note . C'est un fermé.
si est une suite strictement croissante positive non bornée, on note . C'est un fermé.

Question : l'ensemble est-il dense dans ? Je pense que oui et si oui, comme il est dénombrable, il n'est ni ouvert ni fermé.