Soit une suite décroissante de compacts non vide.
Comment montrer que s'il existe un ouvert qui contient alors il existe tel que
Merci de m'orienter s'il vous plait
salut
la suite de compacts est décroissante donc il est évident que
reste à montrer qu'il existe un entier initialisant cette implication ...
regarder alors les ensembles
est-il possible que tous les E_n soient vides ?
(bonjour... mais est-ce l'esprit du site de fournir la solution complète "clé en main" sans que l'intéressé intervienne ? )
malou edit > ce qui n'est pas autorisé au niveau collège-lycée peut être admis parfois au niveau supérieur... la suite du sujet montre d'ailleurs que c'est loin d'être une solution clé en mains pour le demandeur...
Si je raisonne par l'absurde, cela veut dire que
c'est à dire qu'il existe une suite et
est compact donc admet une sous suite convergente vers x
donc ( car est compact donc fermé) et d'un autre coté comme est ouvert et alors
Mon problème c'est que je n'ai pas utilisé la décroissance de la suite
simplifie-toi la vie en utilisant la première remarque de carpediem
la négation de ce que tu veux montrer est tout simplment :
ben lis mieux
la suite de compacts est emboitée
donc si il y en a un dans, tous les suivants le seront a fortiori
moralité :
montrer qu'il sont tous dans à partir du rang n0
équivaut à dire que
celui de rang n0 est dedans.
elhor_abdelali : je suis bien d'accord
1/ oui par décroissance (mais je ne voulais pas tout dire)
2/ certes mais s'il existe n tel que alors (d'après 1/) ce qui contredit l'hypothèse
ensuite il faudra encore travailler à partir de cet entier n je suis bien d'accord ...
mais l'étape suivante serait de montrer qu'il existe un entier m tel que
peut-être n'est-ce pas le chemin le plus efficace voire même que ça n'aboutit pas ...
S'il vous plait @elhor_abdeli pour la méthode par l'absurde:
Dans la preuve que j'ai écrite ou avons nous besoins de la décroissance s'il vous plait ?
et c'est quoi l'utilité de la décroissance ?
Merci
c'est la décroissance qui nous a donné car est aussi valeur d'adhérence de la suite qui vit dans le compact
et comme ceci est vérifié pour tout entier naturel , on a
Je m'excuse je n'ai pas compris la notation
J'ai l'existence d'une suite donc admet une sous suite qui converge vers
et comme la famille est décroissante on a que donc est dans (car x est dans tout les ) c'est ca ?
Bonjour,
Variante sans raisonnement par l'absurde ni suite : posons .
1) Montrer que est compact.
2) Constater que , et conclure.
Par ailleurs, le raisonnement d'elhor_abdelali devrait être légèrement modifié :
Bonsoir ,
une suite (qui me parait logique) à l'exercice proposé par vastemath
Proposition :
Soit une suite décroissante de compacts connexes non vides d'un espace topologique .
Alors est un compact connexe non vide de .
Preuve :
En effet si sont deux ouverts disjoints de tels que ,
la résolution précédente montre que l'ouvert contient tous les à partir d'un certain rang
et comme est connexe , on a ou
et donc ou sauf erreur de ma part bien entendu
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