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Niveau Maths sup
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compacité

Posté par
vastemath
26-04-21 à 14:35

Soit (K_n) une suite décroissante de compacts non vide.

Comment montrer que s'il existe un ouvert \Omega qui contient K=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}K_n alors il existe n_0 tel que \forall n\geq n_0, K_n\subset \Omega  

Merci de m'orienter s'il vous plait

Posté par
carpediem
re : compacité 26-04-21 à 15:22

salut

la suite de compacts est décroissante donc il est évident que K_n \subset \Omega \Longrightarrow K_{n + 1} \subset \Omega

reste à montrer qu'il existe un entier initialisant cette implication ...

regarder alors les ensembles E_n = \Omega \cap \left( \cap_0^n K_k \right)

est-il possible que tous les E_n soient vides ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : compacité 26-04-21 à 15:37

Bonjour

Cet énoncé me laisse perplexe. On peut toujours prendre \Omega=E, non?

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : compacité 26-04-21 à 17:21

Bonjour,

on pourrait raisonner par l'absurde

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : compacité 26-04-21 à 18:03

Citation :
s'il existe un ouvert \Omega qui contient K=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}K_n alors il existe n_0 tel que \forall n\geq n_0, K_n\subset \Omega



Supposons par l'absurde qu'il existe un ouvert \Omega qui contient K=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}K_n mais que \forall n\in\mathbb N ~,~ \exists p\geqslant n ~,~ K_p\nsubseteq\Omega

on a ainsi l'existence d'une suite extraite \left(K_{\varphi(n)}\right) de la suite \left(K_n\right) et d'une suite \left(x_{n}\right) tels que \forall n ~,~ x_{n}\in K_{\varphi(n)} ~,~ x_n\notin\Omega

vu comme suite d'éléments du compact K_p (à partir d'un certain rang) , la suite \left(x_{n}\right) admet une valeur d'adhérence x\in K_p

et donc x\in K=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}K_n

mais x est la limite d'une suite d'éléments du fermé \Omega^c et donc x\in\Omega^c ce qui contredit clairement l'hypothèse K\subset\Omega sauf erreur bien entendu

Posté par
matheuxmatou
re : compacité 26-04-21 à 18:05

(bonjour... mais est-ce l'esprit du site de fournir la solution complète "clé en main" sans que l'intéressé intervienne ? )

malou edit > ce qui n'est pas autorisé au niveau collège-lycée peut être admis parfois au niveau supérieur...  la suite du sujet montre d'ailleurs que c'est loin d'être une solution clé en mains pour le demandeur...

Posté par
carpediem
re : compacité 26-04-21 à 18:10

Camélia : c'était effectivement la première idée qui m'était venue à l'esprit aussi ...

Posté par
vastemath
re : compacité 26-04-21 à 18:20

Si je raisonne par l'absurde, cela veut dire que


\forall n\in\mathbb{N}, \exists n_0\in\mathbb{N}, n_0\geq n\,\text{ et }\, K_{n_0}\not\subset\Omega

c'est à dire qu'il existe une suite  (x_n)\subset K_{n_0}  et (x_n)\not\subset \Omega

K_{n_0} est compact donc (x_n) admet une sous suite convergente  (x_{\varphi(n)}) vers x

donc x\in K_{n_0} ( car K_{n_0} est compact donc fermé)  et d'un autre coté comme  \Omega est ouvert  et (x_n)\subset E\setminus\Omega alors x\in E\setminus \Omega

Mon problème c'est que je n'ai pas utilisé la décroissance de la suite  K_n

Posté par
vastemath
re : compacité 26-04-21 à 18:25

J'ai commencé de la meme manière mais pourquoi x\in K ?

ou utiliser la décroissance ?

Merci

Posté par
matheuxmatou
re : compacité 26-04-21 à 18:28

simplifie-toi la vie en utilisant la première remarque de carpediem

la négation de ce que tu veux montrer est tout simplment :

\forall n\in\mathbb{N}\, , \, K_{n}\not\subset\Omega

Posté par
vastemath
re : compacité 26-04-21 à 18:31

bien non ce n'ai pas ca la negation de [\exists n_0\in\mathbb{N}, \forall n\in\mathbb{N}, n\geq n_0\Rightarrow K_n\subset \Omega]

Posté par
matheuxmatou
re : compacité 26-04-21 à 18:32

tu as lu ce que dit carpediem à 15:22 ?

Posté par
vastemath
re : compacité 26-04-21 à 18:34

oui mais je n'ai pas compris son idée

Posté par
matheuxmatou
re : compacité 26-04-21 à 18:38

ben lis mieux

la suite de compacts est emboitée

donc si il y en a un dans, tous les suivants le seront a fortiori

moralité :

montrer qu'il sont tous dans à partir du rang n0

équivaut à dire que

celui de rang n0 est dedans.

Posté par
carpediem
re : compacité 26-04-21 à 18:43

carpediem @ 26-04-2021 à 15:22

la suite de compacts est décroissante donc il est évident que K_n \subset \Omega \Longrightarrow K_{n + 1} \subset \Omega

reste à montrer qu'il existe un entier initialisant cette implication ...

regarder alors les ensembles E_n = \Omega \cap \left( \cap_0^n K_k \right) \red = \Omega \cap J_n

est-il possible que tous les E_n soient vides ?
la suite d'ensembles (J_n) est décroissante donc s'il existe m tel que E_m = \O alors K \not \subset \Omega

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : compacité 26-04-21 à 19:04

Citation :
J'ai commencé de la meme manière mais pourquoi x\in K ?

ou utiliser la décroissance ?

Merci


x est dans K parce qu'il est dans tout K_p

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : compacité 26-04-21 à 19:21

carpediem \to on a par décroissance , \displaystyle\bigcap_{k=0}^n K_k=K_n

et \Omega\cap K_n\neq\emptyset ne veut pas dire K_n\subset\Omega sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
carpediem
re : compacité 26-04-21 à 19:44

elhor_abdelali : je suis bien d'accord

1/ oui par décroissance (mais je ne voulais pas tout dire)

2/ certes mais s'il existe n tel que  \Omega \cap K_n = \O alors \Omega \cap K = \O (d'après 1/) ce qui contredit l'hypothèse


ensuite il faudra encore travailler à partir de cet entier n je suis bien d'accord ...

mais l'étape suivante serait de montrer qu'il existe un entier m tel que K_m \subset \Omega

peut-être n'est-ce pas le chemin le plus efficace voire même que ça n'aboutit pas ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : compacité 26-04-21 à 20:26

Citation :
mais l'étape suivante serait de montrer qu'il existe un entier m tel que K_m \subset \Omega


Oui carpediem ta remarque est pertinente :


il s'agit plutôt de montrer que \exists n_0 ~,~ K_{n_0}\cap\Omega^c=\emptyset


et effectivement (F_n=K_n\cap\Omega^c) est une suite décroissante de fermés du compact K_0


d'intersection vide vu que \bigcap F_n=K\cap\Omega^c=\emptyset


les F_n sont donc tous vides à partir d'un certain rang n_0

Posté par
vastemath
re : compacité 26-04-21 à 20:32

S'il vous plait @elhor_abdeli pour la méthode par l'absurde:

Dans la preuve que j'ai écrite ou avons nous besoins de la décroissance s'il vous plait ?

et c'est quoi l'utilité de la décroissance ?

Merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : compacité 26-04-21 à 20:58

c'est la décroissance qui nous a donné x\in K car x est aussi valeur d'adhérence de la suite (x_n)_{n\geqslant p} qui vit dans le compact K_{\varphi(p)}\subset K_p

et comme ceci est vérifié pour tout entier naturel p , on a x\in\bigcap_{p\in\mathbb N}K_p=K

Posté par
vastemath
re : compacité 26-04-21 à 21:21

Je m'excuse je n'ai pas compris la notation K_{\varphi(n)}

J'ai l'existence d'une suite (x_n)\subset K_{n_0}  donc (x_n) admet une sous suite qui converge vers x

et comme la famille est décroissante on a que K_{n_0}\subset K_n  donc  x est dans K (car x est dans tout les K_n ) c'est ca ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : compacité 27-04-21 à 02:00

Citation :
et comme la famille est décroissante on a que K_{n_0}\subset K_n


pour n\leqslant n_0 oui

pour n\geqslant n_0 non

(K_n) décroissante signifie K_0\supset K_1\supset K_2\supset...\supset K_n\supset K_{n+1}\supset...


La notation K_{\varphi(n)} est utilisée de coutume pour désigner une suite extraite

c'est à dire que l'application \varphi~:~\mathbb N\to\mathbb N est strictement croissante

il est classiquement connu que pour une telle application on a , \varphi(n)\geqslant n pour tout n

et donc K_{\varphi(n)}\subset K_n pour tout n

la suite (x_n) de mon message de 26-04-21 à 18:03 vérifie donc aussi x_n\in K_n et x_n\notin\Omega pour tout n

et tu vois bien que par décroissance :

la suite (x_n)_{n\geqslant0} vit dans K_0

la suite (x_n)_{n\geqslant1} vit dans K_1

.

.

la suite (x_n)_{n\geqslant p} vit dans K_p

et ce pour tout entier naturel p

or x est valeur d'adhérence pour toutes ces suites donc x\in K_p pour tout p

Posté par
carpediem
re : compacité 27-04-21 à 10:06

mercielhor_abdelali : effectivement passer par le complémentaire donne immédiatement le résultat !!

Posté par
GBZM
re : compacité 27-04-21 à 11:41

Bonjour,

Variante sans raisonnement par l'absurde ni suite : posons F= K_0\setminus \Omega.
1) Montrer que F est compact.
2) Constater que F \cap \bigcap_{n=0}^{\infty} K_n=\emptyset, et conclure.

Par ailleurs, le raisonnement d'elhor_abdelali devrait être légèrement modifié :

elhor_abdelali @ 26-04-2021 à 18:03


vu comme suite d'éléments du compact K_p (à partir d'un certain rang) , la suite \left(x_{n}\right) admet une valeur d'adhérence x\in K_p

et donc x\in K=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}K_n

Tel que c'est présenté, le x dépend de p, ce qui est gênant. Il vaudrait mieux à mon sens écrire : La suite (x_n) est une suite du compact K_0, elle admet donc une valeur d'adhérence x. Puisque, pour tout p, x_n est dans K_p à partir d'un certain rang, x appartient à l'intersection des K_p.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : compacité 27-04-21 à 17:15

Citation :
Variante sans raisonnement par l'absurde ni suite : posons F= K_0\setminus \Omega.
1) Montrer que F est compact.
2) Constater que F \cap \bigcap_{n=0}^{\infty} K_n=\emptyset, et conclure.

Oui GBZM , c'est ce que m'a fait remarquer carpediem voir post du 26-04-21 à 20:26

Posté par
GBZM
re : compacité 27-04-21 à 17:59

Oui, c'est effectivement dans ton post, mais pas dans ceux de carpediem ....

Posté par
vastemath
re : compacité 28-04-21 à 09:44

Merci a tous pour votre aide

Posté par
carpediem
re : compacité 28-04-21 à 11:48

de rien

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : compacité 28-04-21 à 16:44

C'est un plaisir

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : compacité 04-05-21 à 03:58

Bonsoir ,

une suite (qui me parait logique) à l'exercice proposé par vastemath


Proposition :

Soit \left(K_n\right) une suite décroissante de compacts connexes non vides d'un espace topologique E.

Alors K=\displaystyle\Bigcap K_n est un compact connexe non vide de E.


Preuve :

En effet si O_1 , O_2 sont deux ouverts disjoints de E tels que K\subset O_1\cup O_2 ,

la résolution précédente montre que l'ouvert O=O_1\cup O_2 contient tous les K_n à partir d'un certain rang n_0

et comme K_{n_0} est connexe , on a K_{n_0}\subset O_1 ou K_{n_0}\subset O_2

et donc K\subset O_1 ou K\subset O_2 sauf erreur de ma part bien entendu



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