salut

la suite de compacts est décroissante donc il est évident que

reste à montrer qu'il existe un entier initialisant cette implication ...

regarder alors les ensembles

est-il possible que tous les E_n soient vides ?

Bonjour

Cet énoncé me laisse perplexe. On peut toujours prendre , non?

Bonjour,

on pourrait raisonner par l'absurde

(bonjour... mais est-ce l'esprit du site de fournir la solution complète "clé en main" sans que l'intéressé intervienne ? )

_{malou edit > ce qui n'est pas autorisé au niveau collège-lycée peut être admis parfois au niveau supérieur...  la suite du sujet montre d'ailleurs que c'est loin d'être une solution clé en mains pour le demandeur...}

Camélia : c'était effectivement la première idée qui m'était venue à l'esprit aussi ...

Si je raisonne par l'absurde, cela veut dire que




c'est à dire qu'il existe une suite    et

est compact donc admet une sous suite convergente   vers x

donc ( car est compact donc fermé)  et d'un autre coté comme est ouvert  et alors

Mon problème c'est que je n'ai pas utilisé la décroissance de la suite  

J'ai commencé de la meme manière mais pourquoi ?

ou utiliser la décroissance ?

Merci

simplifie-toi la vie en utilisant la première remarque de carpediem

la négation de ce que tu veux montrer est tout simplment :

bien non ce n'ai pas ca la negation de []

tu as lu ce que dit carpediem à 15:22 ?

oui mais je n'ai pas compris son idée

ben lis mieux

la suite de compacts est emboitée

donc si il y en a un dans, tous les suivants le seront a fortiori

moralité :

montrer qu'il sont tous dans à partir du rang n₀

équivaut à dire que

celui de rang n₀ est dedans.

carpediem on a par décroissance ,

et ne veut pas dire _{sauf erreur de ma part bien entendu}

elhor_abdelali : je suis bien d'accord

1/ oui par décroissance (mais je ne voulais pas tout dire)

2/ certes mais s'il existe n tel que   alors (d'après 1/) ce qui contredit l'hypothèse


ensuite il faudra encore travailler à partir de cet entier n je suis bien d'accord ...

mais l'étape suivante serait de montrer qu'il existe un entier m tel que

peut-être n'est-ce pas le chemin le plus efficace voire même que ça n'aboutit pas ...

S'il vous plait @elhor_abdeli pour la méthode par l'absurde:

Dans la preuve que j'ai écrite ou avons nous besoins de la décroissance s'il vous plait ?

et c'est quoi l'utilité de la décroissance ?

Merci

c'est la décroissance qui nous a donné car est aussi valeur d'adhérence de la suite qui vit dans le compact

et comme ceci est vérifié pour tout entier naturel , on a

Je m'excuse je n'ai pas compris la notation

J'ai l'existence d'une suite  donc admet une sous suite qui converge vers

et comme la famille est décroissante on a que   donc   est dans (car x est dans tout les ) c'est ca ?

mercielhor_abdelali : effectivement passer par le complémentaire donne immédiatement le résultat !!

Bonjour,

Variante sans raisonnement par l'absurde ni suite : posons .
1) Montrer que est compact.
2) Constater que , et conclure.

Par ailleurs, le raisonnement d'elhor_abdelali devrait être légèrement modifié :

elhor_abdelali @ 26-04-2021 à 18:03


vu comme suite d'éléments du compact (à partir d'un certain rang) , la suite admet une valeur d'adhérence

et donc

Oui, c'est effectivement dans ton post, mais pas dans ceux de carpediem ....

Merci a tous pour votre aide

de rien

C'est un plaisir

Bonsoir ,

une suite (qui me parait logique) à l'exercice proposé par vastemath


Proposition :

Soit une suite décroissante de compacts connexes non vides d'un espace topologique .

Alors est un compact connexe non vide de .


Preuve :

En effet si sont deux ouverts disjoints de tels que ,

la résolution précédente montre que l'ouvert contient tous les à partir d'un certain rang

et comme est connexe , on a ou

et donc ou _{sauf erreur de ma part bien entendu}