apres tout je ne crois pas que c est possible de montrer que c est un compact si on a pas E de dimension finie

Bonjour,
Ce qui compte, c'est que est de dimension finie, et est une partie de . Allez, courage !

peut on dire que est un sev de A qui est fermee et  bornee(can intersection des deux fermee et un fermee et   inclu dans B donc   bornee), et A de dimension finie alors   est une partie compact
de A  ?

n'est certainement pas un sous-espace vectoriel de . Mais il est effectivement fermé dans et borné.

peut on munir A de la norme N ??  si (A,N) est un evn donc on deduit facilement le résultat.mais je ne crois pas que cest vrai

La norme est une application de dans . Qu'est-ce qui te fait penser qu'on n peut pas la restreindre à ? Vérifie qu'elle conserve ses propriétés de norme.

pour 1
on a d(a,A) est un minorant de l ensemble {||x-a||,x dans A inter B}
et  d apres caractérisation de la borne inf il existe un suite  (xn)n a valeurs dans A tq d(a,xn) tend vers d(a,A) et on montre qu appartir d un certain rang xn est dans B et alors appartir d un certain rang xn est dans B inter A dont on a trouvé une suite a valurs dans B inter A qui converge vers ce minorant donc d(a,AinterB)=d(a,A)
pour2
de meme il existe (xn) suite a valurs dans B inter A tq xn tend vers d(a,A)=d(a,A interB), A inter B est compact on peut extraire une sous suite de xn qui converge vers  b dans A inter B et on utilise la continuite de la distance et l unicite de limite pour trouver le resultat.
et pour une copie faut il demontrer qu on peut restriendre la norme a A ou juste indiquer ca.
merci beaucoup

Dans ce que tu écris, tu ne fais pas de différence entre "minorant" et "borne inférieure" : est la borne inférieure ...
Il est très important d'utiliser le terme juste.
La restriction d'une norme à un sous-espace est bien une norme. Je t'ai demandé d'y réfléchir parce que tu n'avais pas l'air convaincu de ce fait.