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compacité
bonjour,
soit f une fonction continue sur 
à valeurs dans
établir l'équivalence entre:
(a) : |f(x)|
+
qd |x|+
(b): pour tout compact K de , (K) est aussi compact.
pr montrer (b)
(a) on m'a dit que je devais utiliser utiliser l'hypothèse (b) sur le compact [-A;+A] (
A>0) mais je n'arrive pas a conclure
si vous pouviez me donner quelques pistes... merci d'avance
Bonsoir,
l'assertion (a) peut se réecrire:
"Pour tout compact B, il existe un compact A tel que x
A => f(x) B"
Vois-tu pourquoi?
Transcris l'hypothèse b avec les quantificateurs:
A 
IR
Comme f-1 ([-A,A]) est compact, il est borné. Donc inclus dans un intervalle [-B,B]
B tel que : |x|> B f(x) f-1 [-A,A])
c'est à dire |f(x)| > A
Donc A IR B tel que : |x|> B |f(x)| > A
donc la limite de f en l'infini est l'infini.
Tu réponds à qui?
Si c'est à moi, le fait que |f| tende vers l'infini pour |x| tendant vers l'infini signifie que pour tout M (qu'il faut imaginer "grand"), il existe N tel que |x|>N => |f(x)|>M.
Or |x|>N signifie x 'appartient pas au compact [-N;N]=A, de même |f(x)|>M signifie f(x) n'appartient pas au compact [-M;M].
OK?
Peux tu ecrire la contraposée de l'assertion :"Pour tout compact B, il existe un compact A tel que xA => f(x) B" ?
Tu obtiens ainsi qqch qui reste equivalent à (a), on est bien d'accord?
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