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Compacité
Bonsoir, je travaille sur la compacité et je bloque sur une question d'un petit exercice.
1.Soit K une partie compacte de l'espace vectoriel normé E et soit f une application de K dans K telle que : pour tout (x,y)€K²,x différent de y => ||f(x)-f(y)||<||x-y||.
Montrer que f possede un unique point fixe t dans K (on pourra considérer inf ||x-f(x)|| lorsque x € K).
J'ai réussi à montrer qu'il n y'en avait au plus 1 mais je n'arrive pas à montrer l'existence. J'ai cherché à montrer que cet inf était égal à 0 et qu'on pourrait l'atteindre, ceci en prenant une application continue de K dans R.
Pourriez vous m'aider? Merci 
édit Océane
Ton application est continue sur un compact elle y atteint donc sa borne inférieure
Soit a un point ou elle est atteinte, on suppose ||f(a)-a||>0, on a alors ||f(f(a))-f(a)||<||f(a)-a|| ce qui apporte une contradiction donc f(a)=a
Bye
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