Bonjour tout le monde

une preocupation

soit E un IR espace vectoriel normé λ∈IR*. et f un endo continu sur E.

on defini E_λ={x∈E, f(x)=λx}
1) il est question de montrer que E_λ est un sous expace vectoriel fermé de E

pour le sev ca va de soit. pour la fermeture egalement c'est
chose faite par ce que on peut voir E_λ= (f-λid)^-1{0}

2) il est question de montrer que si l'image f(B) de tout borné B est relativement compact alors   dimE_λ<+∞

pour cela je raisonne par l'absurde en supposant dimE_λ=+∞ il s'en suit donc que dimE= +∞

comme dimE=+∞ alors B(0,1) n'est pas relativement compact.
mon probleme etait de savoir si je peut construire un borné A tel que f(A)=B(0,1) pour confirmer mon absurdité......
de là suis coincé.

merci de vos approche et vos remarques