Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup TopologieTopics traitant de topologie [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

compacité et espace de fonctions uniformément équicontinu

Posté par
romu 02-08-07 à 00:39

Bonsoir, je suis de nouveau bloqué sur un exemple de cette notion:

Soient X,I deux espaces métriques compacts, et soit f une application continue de X\times I dans un espace métrique Y.

L'ensemble E des applications partielles f_i: x\longrightarrow f(x,i) de X dans Y est uniformément équicontinu. C'est une conséquence immédiate de l'uniforme continuité de f sur X\times I.

Posté par
Cauchyre : compacité et espace de fonctions uniformément équicontinu 02-08-07 à 00:53

Salut,

tes espaces étant compacts, f est uniformément continue et l'application partielle aussi.

Qu'est ce que l'ensemble des applications partielles, on a plusieurs applications de X*I dans Y au départ?

Posté par
ottore : compacité et espace de fonctions uniformément équicontinu 02-08-07 à 00:59

Bonjour,
il suffit d'écrire la définition de l'uniforme continuité et de l'uniforme équicontinuité. Ensuite, tu appliques la remarque et bingo.

En fait comme il n'y a pas de question, je me demande où tu bloques.

Posté par
ottore : compacité et espace de fonctions uniformément équicontinu 02-08-07 à 01:01

Tiens au passage, si tu as un nouveau contact msn Cauchy, c'est moi

Posté par
romure : compacité et espace de fonctions uniformément équicontinu 02-08-07 à 01:02

Salut Cauchy,

je dois montrer que

3$(\forall \varepsilon >0)(\exists \eta>0) (\forall i \in I)[d_X(x,y) < \eta \Longrightarrow d_Y(f_i(x),f_i(y)) \]

pour l'appication partielle, comment on sait qu'elle est continue?

Posté par
romure : compacité et espace de fonctions uniformément équicontinu 02-08-07 à 01:04

salut otto, ok je vais chercher, déjà avec les conseils que vous m'avez donné je vais pouvoir débloquer

Posté par
ottore : compacité et espace de fonctions uniformément équicontinu 02-08-07 à 01:04

Ton application est continue sur X*I par hypothèse.

Posté par
romure : compacité et espace de fonctions uniformément équicontinu 02-08-07 à 01:11

...donc uniformément continue sur X\times I étant donné que c'est un compact.
Après il faut que je montre que pour tout i\in I, f_i est uniformément continue sur X, mais ça ne sera pas suffisant. Je crois qu'il faut que je montre aussi que E est équicontinu partout.

Mais est-ce que le fait que E est un ensemble équicontinu partout d'applications uniformément continues suffit à affirmer que E est uniformément équicontinu?

Posté par
ottore : compacité et espace de fonctions uniformément équicontinu 02-08-07 à 01:12

Ta dernière phrase est justement le but de l'exercice.

Comme je te l'ai conseillé, le plus simple au départ est d'écrire la définition de ce que tu as et de ce que tu dois montrer.
Tu trouveras de grandes similitudes.

Posté par
romure : compacité et espace de fonctions uniformément équicontinu 02-08-07 à 01:51

Ok,

donc f est uniformément continue;

4$(\forall \varepsilon>0)(\forall x,y \in X \times I) \[d_{X\times I}((x_1,i_1),(x_2,i_2))<\eta \Longrightarrow d_Y(f(x_1,i_1),f(x_2,i_2)) < \varepsilon \].

E est uniformément équicontinu:

4$(\forall \varepsilon>0)(\forall i \in I)(\forall x_1,x_2 \in X) \[d_X(x_1,x_2)<\eta \Longrightarrow d_Y(f(x_1,i),f(x_2,i)) < \varepsilon \].

On choisit la distance 3$d_{X\times I}((x_1,i_1),(x_2,i_2)) := \sup\ \{d_X(x_1,x_2),d_I(i_1,i_2)\}.

D'où d_X(x_1,x_2) = d_{X\times I}((x_1,i),(x_2,i)).

la propriété est alors immédiate.

Posté par
romure : compacité et espace de fonctions uniformément équicontinu 02-08-07 à 01:52

Pardon, une petit erreur:

f est uniformément continue;

4$(\forall \varepsilon>0)(\exists \eta>0)(\forall x,y \in X \times I) \[d_{X\times I}((x_1,i_1),(x_2,i_2))<\eta \Longrightarrow d_Y(f(x_1,i_1),f(x_2,i_2)) < \varepsilon \].

E est uniformément équicontinu:

4$(\forall \varepsilon>0)(\exists \eta>0)(\forall i \in I)(\forall x_1,x_2 \in X) \[d_X(x_1,x_2)<\eta \Longrightarrow d_Y(f(x_1,i),f(x_2,i)) < \varepsilon \].

On choisit la distance 3$d_{X\times I}((x_1,i_1),(x_2,i_2)) := \sup\ \{d_X(x_1,x_2),d_I(i_1,i_2)\}.

D'où d_X(x_1,x_2) = d_{X\times I}((x_1,i),(x_2,i)).

la propriété est alors immédiate.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !