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compact
Bonjour tout le monde , s'il vous plaît j'ai un petit paradoxe dans ma tête concernant l'exercice suivant : E=Mn(R) et pour x=(x1,...,xn) et y=(y1,..yn) de R^n on écrit si pour tout i de [l1,nl] :
. Soit A appartient à E à coefficient strictement positifs , On note
1) Montrer que si lamda appartient à sp(A) , alors sa valeur absolue l'est aussi ,
2) Montrer que S est majorée et expliciter un majorant
3) Montrer que S est une partie compact de R
C'est la 3ème question qui me gêne , car j'ai remarqué si a appartient à S alors pour tout b inférieur à a alors b appartient à S du coup S n'est pas minorée , donc pas bornée , et comment elle peut être compact ?
Bonjour !
Il manque un bout dans ta définition de et la première question disant "l'est aussi" cela veut dire quoi ? que
est valeur propre ?
N'y aurait-il pas une condition du genre ?
Car ta question 1. me semble bizarre ! Pour il suffit de choisir
pour avoir deux valeurs propres non nulles ayant un produit négatif.
l'est aussi ça veut dire la valeur absolue de lamda appartient à S aussi , sinon pour la définition de S je l'ai copiée telle qu'elle est dans mon énoncé
oui mais concernant ce que j'ai dit ? S n'est pas minorée , donc pas bornée , elle ne peut pas être un compact non ?
Tu avais bien oublié le !
On a le résultat suivant :
Si tu ajoutes que (peut-être un oubli de l'énoncé ?) on peut démontrer que
est un intervalle compact de
et que
est une valeur propre de
qui majore strictement les modules des valeurs propres complexes de
.
De plus l'espace propre associé à est une droite vectorielle.
oui pardon , j'ai oublié le il existe , et oui il y'a surement un oubli de l'énoncé , je vais essayer avec ces nouveaux données merci
Non, tu n'as pas oublié le « il existe », tu as juste oublié une espace entre \exists et x.
Et de faire un aperçu.
S=\left\{\lambda \in R, \existsx \in R^n-\left\{0 \right\},0\leq x et \lambda x\leq Ax \right\}
Bonsoir !
En fait si tu as montré : et
majoré tu as montré aussi que l'ensemble est minoré.
En effet, si majore
tu as :
Ce "l'est aussi" m'a conduit à une foule de malentendus !
J'ai cru au départ que c'était "est aussi dans le spectre de "
Quand tu as rectifié en "c'est aussi dans " j'ai compris la fausse inclusion
d'où une ânerie.
En fait la question 2. est vraisemblablement et le "c'est aussi" est une incongruité, probablement inventée ou alors dans une phrase qui n'est pas la question 2 !
....................................
Il est exact que n'est pas minoré mais l'ensemble
est bien un compact et même un segment
de
.
On peut démontrer aussi :
est une valeur propre réelle de
qui majore les modules des valeurs propres complexes de
L'espace propre associé à est une droite vectorielle
est racine simple du polynôme caractéristique de
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