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compact ,connexe

Posté par
Nyadis
16-03-20 à 17:28

Salut Salut
Encore moi

Soit E un  e.v.n
On suppose qu'il existe une partie K de E qui soit compact et convexe d'interieure non vide.

et on veut montrer dimE<+∞.

j'ai essayé un raisonnement par l'absurde en supposant que dimE=+∞ d'apres la propriete de riez de mon cour on peut deduire que B(0,1) est relativement comment.

j'ai donc envie d'etablir que pour tout K partie compact et connexe de E on a l'interieuer de K qui est vide

dans mes idees je n'arrive pas a conclur et encore moins comment utiliser la connexité


merci de vos belle remarque

Posté par
jsvdb
re : compact ,connexe 16-03-20 à 17:49

Bonsoir Nyadis.
Si K est une partie fermée d'intérieur non vide, alors elle contient l'adhérence d'une boule ouverte.
Or seuls les EVN de dimension finie ont des boules ouvertes d'adhérence compacte.
Si donc K est compacte et contient une telle boule, c'est que l'EV est de dimension finie.

Posté par
jsvdb
re : compact ,connexe 16-03-20 à 17:50

Ou par contraposée, toute partie d'un EVN de dimension infinie qui contient l'adhérence d'une boule ouverte ne peut être compacte.

Posté par
luzak
re : compact ,connexe 16-03-20 à 17:55

Bonsoir !
Tu devrais voir la notion de "fonction jauge" !
Il me semble que les compacts convexes d'intérieur non vide sont homéomorphes à la boule unité.

Mais ton message comporte des bizarreries  : tu devrais le relire !
"relativement comment" ?
Pourquoi parler de "connexité" ?

Posté par
Nyadis
re : compact ,connexe 16-03-20 à 19:24

merci a tous pour vos idee

Posté par
Nyadis
re : compact ,connexe 16-03-20 à 19:31

jsvdb @ 16-03-2020 à 17:49

Bonsoir Nyadis.
Si K est une partie fermée d'intérieur non vide, alors elle contient l'adhérence d'une boule ouverte.
Or seuls les EVN de dimension finie ont des boules ouvertes d'adhérence compacte.
Si donc K est compacte et contient une telle boule, c'est que l'EV est de dimension finie.


merci jsvdb  ca semble tres claire quand on lit.
si K est d'interieur non vide c'est qu'il contient une boule ouvert
Mais il n'a pas ete question de K fermé dans nos hypothese pour que tu puisses conclur sur le fait que K contient l'adherence d'une boule ouverte....

Posté par
Nyadis
re : compact ,connexe 16-03-20 à 19:37

luzak @ 16-03-2020 à 17:55

Bonsoir !
Tu devrais voir la notion de "fonction jauge" !
Il me semble que les compacts convexes d'intérieur non vide sont homéomorphes à la boule unité.

Mais ton message comporte des bizarreries  : tu devrais le relire !
"relativement comment" ?
Pourquoi parler de "connexité" ?


Bonsoir luzak

il est di dans mon cour que si la boule unité fermée est compact alors notre espace est de dimension fini.
et la boule unité fermé compact est equivalent a la boule unité relativement compact

desole je voulais parler de convexité et non connexité

je suis tres interessé par ce que tu as soulevez plus haut  en ceci que ...

Posté par
Nyadis
re : compact ,connexe 16-03-20 à 19:42

Il me semble que les compacts convexes d'intérieur non vide sont homéomorphes à la boule unité.

comment prouver cette assertion?

Ce n'est pas plutot les convexes d'interieur vide qui sont homeophorme a la boule unité? ?

Posté par
jsvdb
re : compact ,connexe 16-03-20 à 21:51

Nyadis @ 16-03-2020 à 19:31

Mais il n'a pas été question de K fermé dans nos hypothèses

Pourtant j'ai bien lu ceci :
Nyadis @ 16-03-2020 à 17:28

On suppose qu'il existe une partie K de E qui soit compacte.

Posté par
Nyadis
re : compact ,connexe 16-03-20 à 21:54

jsvdb @ 16-03-2020 à 21:51

Nyadis @ 16-03-2020 à 19:31

Mais il n'a pas été question de K fermé dans nos hypothèses

Pourtant j'ai bien lu ceci :
Nyadis @ 16-03-2020 à 17:28

On suppose qu'il existe une partie K de E qui soit compacte.


est ce que tout compact est donc fermé dans un espace quelconque?

Posté par
jsvdb
re : compact ,connexe 16-03-20 à 21:56

Ah oui, tout compact d'un espace métrique (donc d'un EVN) est fermé et borné ...

Posté par
Nyadis
re : compact ,connexe 16-03-20 à 22:01

jsvdb @ 16-03-2020 à 21:56

Ah oui, tout compact d'un espace métrique (donc d'un EVN) est fermé et borné ...


ah okay merci.
tu n'as donc pas eu besoin de la convexité de K

Posté par
jsvdb
re : compact ,connexe 16-03-20 à 22:02

Absolument inutile

Posté par
Nyadis
re : compact ,connexe 16-03-20 à 22:07

jsvdb @ 16-03-2020 à 22:02

Absolument inutile

merci

Posté par
Nyadis
re : compact ,connexe 16-03-20 à 22:08

Nyadis @ 16-03-2020 à 19:42

Il me semble que les compacts convexes d'intérieur non vide sont homéomorphes à la boule unité.

comment prouver cette assertion?

Ce n'est pas plutot les convexes d'interieur vide qui sont homeophorme a la boule unité? ?


cette demo peut elle avoir des idees de preuves?

Posté par
jsvdb
re : compact ,connexe 16-03-20 à 22:20

Les compacts convexes d'intérieur non vide ne sont homéomorphes à la boules unité (fermée bien sur) qu'en dimension finie ...
Idée de démo : centrer, c'est-à-dire translater le convexe en sorte que 0 en soit un point intérieur et écrire la jauge du convexe.

Posté par
jsvdb
re : compact ,connexe 16-03-20 à 22:30

Et après, si K' est le convexe centré, l'homéomorphisme doit être (de mémoire) h:K'\rightarrow B;x\mapsto \frac{J_{K'}(x)}{||x||}x

B est la boule unité de \R^n

J_{K'} la jauge de K' définie par :

J_{K'}(x) = \inf\{t>0~|~\frac{x}{t}\in K'\},~\forall x \in K'

A vérifier ...



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