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Compact convexe
Bonjour,
si on se place dans .
On se donne un compact convexe.
Il existe donc tel que
pour la distance euclidienne.
On considère le réel .
Comment montrer qu'il existe un unique tel que
?
En fait j'arrive pas à me servir de la convexité...
Non, oublie ce que j'ai dit.
Pour l'existence, cela revient à montrer que r est en fait un minimum et non pas seulement un inf.
Comme c'est un inf, tu peux donc considérer une suite qui converge vers cet inf.
Ici, apparemment pas besoin de convexité (normalement) !
Kaiser
Salut kaiser,
en fait j'ai pas trop compris ce que tu voulais me dire dans ton premier message 
Pour la suite c'est bien par cela que j'ai commencé, il y a une question que je me posais c'est si les centres des boules sont nécessairement dans K à partir d'un certain rang(si on a pas un convexe apparemment non).
Je viens de me rendre compte : si le résultat est vrai pour les convexes alors c'est vrai tout le temps (il me semble déjà avoir rencontré cet exo mais pour un compact quelconque).
En effet, dans le cas général, il suffit de considérer .
Kaiser
P.S : vive le monologue ! 
en fait j'ai pas trop compris ce que tu voulais me dire dans ton premier message
Je pensais au diamètre. En effet, intuitivement, on peut voir que
il y a une question que je me posais c'est si les centres des boules sont nécessairement dans K à partir d'un certain rang
Intuitivement, on pourrait se dire que oui. Mais ici, le x recherché est bien quelconque ?
Kaiser
D'accord pour le diamètre je me demandais justement comment majorer finement r0 par rapport au diamètre.
Le x recherché associé à r0 est unique mais pas nécessairement dans K.
Si c'est non convexe, on voit sur des exemples genre deux boules disjointes qu'il peut être en dehors de K.
Mais bon, on va rester avec notre suite qui tend vers l'inf (c'est plus simple pour prouver l'existence).
Kaiser
Oui donc nôtre suite qui tend vers l'inf, on veut montrer que c'est un min c'est à dire par exemple que l'ensemble est fermé
Si on prend une suite qui tend vers
, il existe
tels que
.
En fait si les centres sont dans K, on peut extraire une sous-suite convergente et on dirait que c'est le x recherché.
Oui, mais on tourne en rond (pour montrer que c'est fermé on passe par les suites).
En fait, concentre-toi uniquement sur cette suite.
Avec cette suite, vient une autre suite dont tu dois étudier le comportement.
Kaiser
En quelque sorte ils sont pas trop loin c'est cela que tu veux dire?(Enfin j'avais déja écrit ca en bornant les centres avec le diamètre et un majorant de rn).
Donc j'en extrais une sous-suite qui converge vers un certain x et il faut que je montre que .
A priori je prend un point z dans K et je dois montrer que .
Bon suite plus tard je vais manger 
Oui, c'est tout à fait ça.
Par contre, une chose étrange, j'arrive à montrer l'unicité sans utiliser la convexité !
Kaiser
P.S : Bon appétit ! 
Salut,
Par contre, une chose étrange, j'arrive à montrer l'unicité sans utiliser la convexité !
Je n'avais pas répondu parce que justement à première vue, je trouvais la même chose que toi Kaiser.
Seule la compacité semble vraiment jouer un rôle ici...
Cauchy > merci (en retard )
Salut otto
Effectivement, seule la compacité est importante.
Encore autre chose : le fait que l'on utilise la norme euclidienne usuelle semble important (je l'ai utilisé dans ma démo).
Kaiser
Bon pour l'unicité à vrai dire avec un dessin je dirais que si on a:
et
alors
et a priori on peut inclure cette intersection dans une boule de rayon plus petit que r0.
En fait on a simplement utilisé que K est borné depuis le début.
Effectivement, comme pour l'histoire des convexes, on peut faire la remarque suivante : Si K est borné alors une boule fermée contient K si et seulement si elle contient son adhérence (qui est compacte).
Bref, finalement, borné suffit amplement.
Kaiser
Bref beaucoup d'hypothèses inutiles
Qu'est-ce que tu utilises de spécifique à la norme euclidienne(médiane,Pythagore,..)?
D'ailleurs, je crois avoir un contre-exemple dans le cas d'une norme non euclidienne.
Je considère la norme infinie dans le plan ainsi que le segment liant l'origine au point (0,1).
Les boules fermées sont alors des carrés remplis.
Or on remarque que tout carré rempli de côté 1 qui contient ce segment convient et donc l'unicité est mise en défaut.
Kaiser
Si on considère le problème inverse, existe-t-il une boule de rayon maximal incluse dans K un borné de R^n d'intérieur non vide?
Il faudrait considérer plutôt des boules ouvertes.
En effet, aucune boule ouverte ne contient de boule fermée de rayon maximal.
Kaiser
Même dans ce cas, on peut voir de la même manière (avec les suites) qu'il y a existence d'une boule ouverte de rayon maximal contenue dans K, mais on perd l'unicité : par exemple, 2 boules disjointes de même rayon.
Kaiser
Oui pour les boules ouvertes.
C'est vrai pour l'exemple, donc on perd l'unicité et on peut donc prendre n'importe quelle norme.
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