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Compact de R^n+
bonjour à tous, voila sur un exercice, je ne suis pas bien sur de ce que j'écris, merci de m'aider:
E={(x,y) de R^2;x=2004;y ds R} est-il un compact de R^2?
j(ai montrer qu'il était clairement fermé avec la méthode des suites(ça je pense que c'est bon) mais le probleme c'est de montrer que cette parti est borné ou non...je ne sais pas trop comment faire.
et ensuite une autre partieX+Y={x+y ds R^n, xdsX,ydsY}
a)montrer que cette partie est compact ds R^n(on utilisera la suite zn=xn+yn et on prendra de maniere convenable des suites extraites).(alors la je sais pas qu'est qu'on est censé faire...pour montrer que c'est fermé ok mais pour montrer que c'est borné??)
b)Donner une autre démonstration de l'assertion précédente en utilisant le fait que l'image f(K) est compacte si K l'est et f est continue de R^m ds R^n.
Merci d'avance de votre aide
Bonjour.
Pour E, x = 2004, y quelconque, je doûte que ce soit un compact
Pour X + Y, que sais-tu de X et de Y ?
Cordialement RR.
bonjour,Raymond, merci d'abord de ta réponse, on sait que X et Y sont des parties compactes de R^n...pour E, je pense aussi que ce ne soit pas un compact, mais en fait, j'ai montré que E était fermé, mais le probleme c'est que je ne sais pas comment montrer que E n'est pas bornée...parce qu'en fait, 2004 peut etre borné,et y est dans R,or je pense bien que tout élément de R peut etre borné...le probleme c'est qu'ici, on doit "borner un couple (x,y)"...
Donc je ne sais pas trop.
Merci d'avance à ceux qui m'aideront.
Salut,
je pense que tu ne comprends pas trop ce que tu manipules.
On ne te demande pas de borner un couple, ce qui n'a aucun sens, mais de montrer que ton ensemble est borné (va voir la définition dans ton cours)
Ici c'est clairement pas compact pour la topologie usuelle, sinon ce serait borné et y pouvant prendre une valeur arbitrairement grande, ca contredit la "bornitude".
Pour l'autre c'est également pas difficile puisque X et Y sont compact, notamment ils sont bornés. Puisqu'ils sont compact, il existe un certain élément y de Y et un certain élément x de X tels que ||x|| et ||y|| soient maximales. Notamment pour tout u de X et tout v de Y,
||u+v|| <= ||u|| + ||v|| <= ||x|| + ||y|| <infini
et c'est terminé.
a+
Bonjour robby3, raymond et otto
La méthode la plus simple pour montrer que si X et Y sont compacts alors X+Y l'est est celle suggérée à la fin de l'énoncé. La fonction définie par f(x,y)=x+y est continue, X
Y est compact, donc f(XY)=X+Y est compact.
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