Pourquoi ne pas tenter un raisonnement par l'absurde  ?

Bonjour,

Au risque de passer pour un imbécile, qu'entends-tu par "un certain nombre de (O_i)" ?

Il doit falloir entendre  " au moins un "  ( en tendant bien l'oreille !)

0 se voyant refuser la qualité de "certain nombre", le pauvre.

bonjour et merci pour les remarques!!

Soit (E, d) un espace métrique compact.
soit (Oi)iI, un recouvrement d'ouvert de E.
montrer qu'il existe >0 tel que toute boule de rayon soit contenu dans au moins un des (Oi).

Bonjour LERAOUL
Il fait travailler sur la frontière des ouverts du sous-recouvrement. Ce sont aussi des compacts.
Tu considères leur réunion F qui est également compacte.
Si F est vide : tout convient.
Sinon pour chaque point x de F, tu considères un réel Rx tel que la boule B(x;Rx) soit incluse dans un des ouverts du sous-recouvrement.
Tu utilises la compacité de F pour conclure à l'existence du cherché.

[@b]LERAOUL[/b]

L(idée d'utiliser l'application que tu a notée f n'est pas farfelue du tout .
Car s'il existe r > 0  tel que pour tout  x E   existe  j   J tel que BO(x , r)  soit contenue dans O_j alors on a :  f(x) d(x , E \ O_j ) r .

Il suffit donc de montrer que Inf(f) est > 0  .
Or f est continue et E est compact donc il existe au moins un élément a de E tel que f(a) = Inf(f) et si on avait inf(f) = 0 on aurait  , pour tout j ,  d(a , E \ O_j )  donc aussi a E \ O_j  ( puisque  les O_j sont des  ouverts ) .
Or  les  E \ O_j  n'ont aucun élément en commun puisque E est la réunion des O_j .