Bonsoir

dans   , les compacts sont précisément les fermés bornés

Bonjour,ar
Donc l'union finie construit un compact, contrairement au cas d'une union infinie car non bornée?
et pour le 1er?

L'union infinie peut être bornée, mais elle peut ne pas l'être
Elle peut aussi ne pas être fermée dans certains cas
Mais le plus simple est de donner un exemple qui n'est pas borné

Et pour le premier alors est-ce qu'il est fermé et borné ?

je pense que cette multiplication n'est pas un intervalle mais un ensemble fermé est borné?

Ce n'est pas une multiplication mais un produit cartésien. Oui, il est fermé et borné, mais pourquoi ?  -> Voir la notion de topologie produit

Salut,
Pour qu'un produit de sous-ensembles Ai de Ei soit fermé dans E il faut et il suffit que chaque Ai soit fermé dans Ei.
en fait ces ensembles sont des intervalles fermés, je pense que c'est le même principe pour la condition

Oui, c'est juste

Remarque pour le troisième point : une union infinie de réels peut être compacte ou non compacte, saurais-tu donner un exemple pour chaque cas ?

Une union infinie de réels distincts bien sûr