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Comparaison de x² et 1/x
Bonsoir , alors voilà , j'ai un exercice à résoudre sur les fonctions et j'ai des difficultés à le résoudre . Pourrais je avoir de l'aide, s'il vous plait? d'avance , merci , voici l'énoncé.
1) Justifier que pour tout x<0 , on a 1/x < x²
2) Conjecturer , à l'aide de la calculatrice , la comparaison de x² et 1/x lorsque x est un réel strictement positif.
3) On note f:x --> x² et g:x --> 1/x
a) Recopier et compléter
La fonction f est ... sur l'intervalle ]O;1] donc , pour tout x 
]0;1] , f(x) ... f(1)
La fonction g est ... sur l'intervalle ]O;1] donc , pour tout x ]0;1] , g(x) ... g(1)
Or f(1)... g(1) , donc , pour tout x ]0;1], on a x² ... 1/x
b) Reprendre ce raisonnement lorsque x [1;+
[
4) Montrer que pour tout x 
O , on a :
x² - 1/x = (x-1)(x²+x+1)/ x
b) Justifier alors que pour x > 0 , x² - 1/x a le même signe que (x-1)
c)Donner le tableau de signe de (x-1) et conclure.
Voilà , merci à ceux qui m'aideront. 
Bonsoir julieapou
qu'as-tu réussi à faire ? Je pense qu'il est important de commencer par là de façon à t'aider utilement. 
Bonsoir
1) Justifier que pour tout x<0 , on a 1/x < x²
là ce que je comprends c'est que pour x négatif 1/x < x² , alors normal puisqu'un carré est toujours positif
Ah que je me suis mal exprimée 
Bonsoir , et bien pas grand chose , pour ne pas dire rien.
je suis complètement hors sujet en ce qui concerne les fonctions.
Bonsoir Louisa,
Julieapou,
tu as la réponse à la première question. Il est clair que 1/x < x² pour x < 0 car l'inverse d'un nombre négatif est négatif alors que son carré est positif.
Pour la question 2, il te faut tracer les deux courbes à la calculatrice ou tracer le graphe de la différence
et conjecturer sur son signe.
Pour la suite, que sais-tu des fonctions carré et inverse ? C'est dans ton cours (je parle des variations).
Bonjour!
1) ok
2)Lorsqu'on dit conjecturer , il faut démontrer non?
ensuite , je sais que
La fonction carrée est croissante sur [0; +∞[
La fonction carrée est décroissante sur ]-∞ ; 0]
La fonction inverse est décroissante sur ]0; +∞[
La fontion inverse est croissante sur ]-∞ ; 0[
Bonjour Julie
Bien, tu connais l'essentiel
Conjecturer ne veut pas dire démontrer mais émettre une hypothèse que l'on va ensuite tenter de confirmer voire d'infirmer parfois. Il t'arrivera d'émettre des conjectures fausses. L'intérêt étant de ne pas croire ce qu'on voit, et donc de comprendre que seul un raisonnement logique permet de conclure.
Pour ton exercice, la démonstration de ta conjecture commence à la question 3.
Comme tu sais que la fonction carré est croissante sur [0;+[, elle l'est a fortiori sur [0;1] et donc pour tout soit
.
Essaie de compléter les phrases maintenant de la question 3.
J'attends ta réponse.
: 
j'ai dit "tu connais l'essentiel" mais je viens de voir que tu as écrit que la fonction inverse est croissante sur ]-; 0[, c'est faux, elle est décroissante sur cet intervalle tout comme sur l'intervalle ]0;+[
Alors voilà :
La fonction f est décroissante sur l'intervalle ]O;1] donc , pour tout x ]0;1] , f(x) > f(1)
La fonction g est croissante sur l'intervalle ]O;1] donc , pour tout x ]0;1] , g(x) < g(1)
Or f(1)> g(1) , donc , pour tout x ]0;1], on a x² > 1/x
est ce correct?
Et bien, une petite vérification rapide avec 0,5 t'amènerait à 0,5² < 1/0, 5 car en effet 0,25 < 2 ce qui contredit ta conclusion.
Mais où est l'erreur alors ? On était d'accord sur les variations de la fonction carré. Elle est croissante sur [0;1], alors pourquoi écrire qu'elle y est décroissante et même erreur sur g. N'as-tu pas fait la confusion entre les deux fonctions ?
oui , je ne sais pas , ici vous parler d'une fonction sur l'intervalle [0;1] alors que celle ci est sur l'intervalle ]0;1]
D'après ce que vous me dites alors , voici les phrases:
La fonction f est croissante sur l'intervalle ]O;1] donc , pour tout x ]0;1] , f(x) > f(1)
La fonction g est croissante sur l'intervalle ]O;1] donc , pour tout x ]0;1] , g(x) > g(1)
Or f(1) < g(1) , donc pour tout x ]0;1] , on a x² < 1/x
Est ce mieux?
Pour la fonction carré, que l'on exclut 0 ou pas, cela n'a pas d'importance si on ne parle que de cette fonction. Dans ton exercice, on exclut le 0 car on fait référence aussi à la fonction inverse.
Il y a du mieux, mais cela ne va toujours pas.
La fonction f est croissante sur l'intervalle ]O;1] donc , pour tout x ]0;1] , f(x) f(1)
La fonction g est (c'est la fonction inverse comme on l'a déjà dit) sur l'intervalle ]O;1] donc , pour tout x ]0;1] , g(x) > g(1)
Or f(1) g(1) (en effet 1² = 1 et 1/1 = 1) , donc pour tout x ]0;1] , on a x² < 1/x
Est-ce que tu as bien suivi ? Si oui, fais la même chose sur [1;+[
La fonction f est croissante sur l'intervalle [1;+[ donc , pour tout x ]0;1] , f(x) < f(1)
La fonction g est décroissante sur l'intervalle [1;+[ donc , pour tout x ]0;1] , g(x) > g(1)
Or f(1)= g(1) , donc , pour tout x [1;+[, on a x² < 1/x
J'aurais mis exactement la même chose moi , ce qui me parait étrange..
La fonction f est croissante sur l'intervalle [1;+
[ donc , pour tout x ]0;1] , f(x) < f(1)Si f est croissante sur [1;+
[, c'est qu'elle est minimale en 1 donc cela conduit à f(x) > f(1) et non le contraire.
La fonction g est décroissante sur l'intervalle [1;+
[ donc , pour tout x ]0;1] , g(x) > g(1)Si g est décroissante, c'est qu'elle est maximale au départ, c'est-à-dire en 1 donc g(x) < g(1).
Cela modifie donc la conclusion dans le sens souhaité. Et encore désolé pour cette réponse tardive (Je n'avais pas été avisé)
Ah oui exact , j'ai confondu.
Pas de problèmes pour la réponse tardive.
Pour la question 4, comment dois je faire?
Pour montrer cette égalité, réduis le membre de droite au même dénominateur. Laisse ce membre de droite de côté. Prends le second et développe le numérateur pour le mettre sous la même forme que la réponse que tu as mise de côté et conclus.
Bonsoir
x² - 1/x = (x-1)(x²+x+1)/ x
[(x² * x)]/x - 1/x = (x3 + x² + x - x² - x - 1)/x
(x3)/x - 1/x = (x3 - 1) /x
(x3 - 1)/x = (x3 - 1)/x
pour le reste, je ne sais pas ou plutôt, je ne préfère pas tenter
D'accord , ce n'est rien , j'essaierai de me débrouiller.
Merci quand même , pour les 3/4 de l'exercice !
Oup's , je pensais que c'était Rodolphe qui m'avait répondu :$
Merci quand même , oui , il passera sûrement m'aider
Bonne soirée
Bonsoir Julie,
Coucou Louisa
Attention à la présentation de la question 4 qui est maladroite. Pour montrer une égalité, on ne part pas de l'égalité à démontrer mais d'un membre que l'on transforme pour arriver à l'autre. Bon, c'est juste une question de présentation, l'idée y est.
On a donc réussi à montrer que donc étudier le signe de
revient à étudier le signe de
et comme la question suggère de montrer que c'est du signe de (x-1), qu'en déduis-tu qu'il faut montrer quant au signe de
?
Coucou Rodolhe
Ah zut ! Mauvaise présentation de ma part
Mais en fait, je comprends pas comment tu as fait :
Je ne trouve pas l'égalité
Je ne trouve pas l'égalité
Bien sûr que si que tu l'as établie à 20:06
Moi, j'aurais écrit :
Bien sûr que si que tu l'as établie à 20:06
oui j'ai mal compris ta réponse tu vois, j'ai pensé m'être trompée
Ah oui , j'avais oublié qu'il fallait présenter de cette façon.
par contre , je ne vois pas comment prouver la suite..
Il suffit alors de montrer que , car le signe + "conserve" les signes.
Sinon, je trouve l'énoncé bien inutilement compliqué :
D'où f(x) = g(x) si x = 1, f(x) > g(x) si x > 1, f(x) < g(x) si x < 1
[(x-1)(x²+x+1)]/x
= (x-1)/x + (x²+x+1)/x
= (x-1)/x + (x²+1)
= (x-1)/x + (x²+1*x)/x
= (x-1)/x + (x3+1)/x
= x-1+x3+1
= x3 + x
x² - 1/x
= x²*x - 1/x * x
= x3 - x
:/ Pourquoi ?
J'ai remarquer que julie avais un devoir maison presque simulaire au mien , Grace a vous j'ai compris ou étais mes faute sur ma copie mais il y a d'autre question qui reste introuvable de mon coter
Si une personne pourrais m'aider sa serais vraiment gentils =) Mon topic est récent merci d'avance
Ceka ma beaucoup aider mais la question 4 b me reste introuvable quelq'un aurai l amabilité de m aider ?
Bonsoir,
Pour finir, est ce que qqcn pourrait recapituler tout lexo, car je suis embrouillé avec tout les textes! Je dois faire ce dm pour Mercredi.
Merci de votre compréhension
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