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Comparaison de deux proportions

Posté par
Plot
22-05-17 à 07:05

Bonjour,

Supposons que nous ayons tiré deux échantillons donnant lieu à deux fréquences fA et fB d'un certain critère dans deux populations EA et EB. On cherche à savoir si les proportions du critère pA dans EA et pB dans EB peuvent être considérée comme "égales".

Le test utilisé est le suivant : on calcule les intervalles de confiance IA et IB associés aux fréquences fA et fB; si ces intervalles sont disjoints on considère que la différence entre fA et fB est significative et que les proportions pA et pB sont différentes; si ces intervalles ne sont pas disjoins on considère que la différence entre fA et fB n'est pas significative et que les proportions pA et pB sont "égales".

J'ai essayé de calculer le risque de conclure à des proportions distinctes à tort. Pouvez-vous me dire si le raisonnement suivant est juste ?

Supposons que nous ayons une population E pour laquelle un caractère donné est en proportion p. Introduisons la variable aléatoire F qui à tout échantillon de taille n associe la fréquence du caractère dans l'échantillon (on considère que la prise d'échantillon s'effectue au hasard et avec remise). Notons IF(p) l'intervalle de fluctuation de p au seuil de 95% et IC(F) l'intervalle de confiance au seuil de 95% de p.
Alors F\in IF(p)\Leftrightarrow p\in IC(F) d'où P(p\in IC(F))=P(F\in IF(p))\approx 0,95

Considérons l'expérience aléatoire qui consiste à tirer successivement et indépendamment deux échantillons de taille n dans E. Notons F_1 la fréquence du caractère dans le premier échantillon et F_2 la fréquence du caractère dans le deuxième échantillon. Les tirages étant indépendants, les variables F_1 et F_2 sont indépendantes et de même loi. Ainsi les évènements \{p\in IC(F_1)\} et \{p\in IC(F_2)\} sont indépendants d'où P(p\in IC(F_1)\cap IC(F_2))=P((p\in IC(F_1))\cap (p\in IC(F_2)))=P(p\in IC(F_1))\times P(p\in IC(F_2))\approx 0,95\times 0,95\approx 0,90

Ce qui permettrait de conclure que le risque de rejeter à tort l'hypothèse "les proportions sont identiques" serait de environ 10%.

Qu'en pensez-vous ?

Merci

Posté par
alb12
re : Comparaison de deux proportions 22-05-17 à 08:15

salut,
le test de comparaison de 2 proportions (apres la terminale) se realise
comme l'indique le programme suivant:  


/******************************************************************
******** Test bilatéral de comparaison de deux proportions ********
******************************************************************/
Comparer2proportions(n1,x1,n2,x2,alpha):={
//n1 (n2):taille de l'échantillon 1 (2),
//x1 (x2):nombre d'individus présentant le caractère dans l'échantillon 1 (2)
//H0:p1 est égal à p2,H1:p1 est différent de p2
//alpha:risque
  local Uobs,Uth,p;
  si n1<30 ou n2<30 alors
    afficher("Attention l'un au moins des deux échantillons a une taille inférieure à 30");
  fsi
  si x1<5 ou x2<5 ou n1-x1<5 ou n2-x2<5 alors
    afficher("Attention l'un au moins des 4 effectifs est inférieur à 5")
  fsi
  p:=(x1+x2)/(n1+n2);
  Uobs:=evalf(abs(x1/n1-x2/n2)/sqrt(p*(1-p)*(1/n1+1/n2)));
  Uth:=normal_icdf(1-alpha/2);
  afficher("Uobs="+Uobs+" et Uth="+Uth);
  si Uobs>Uth alors
    afficher("Au risque "+(alpha)+" on rejette l'hypothèse H0");
    retourne 0
  sinon
    afficher("Au risque "+(alpha)+" on ne rejette pas l'hypothèse H0");
    retourne 1
  fsi
}
:;


Pour un test au risque 5%,
le risque de rejeter une hypothese vraie est egal à 5%

Posté par
Plot
re : Comparaison de deux proportions 22-05-17 à 08:19

Merci pour votre réponse. Je travaillerai ce soir à la compréhension du test que vous venez de me décrire.
Mais pouvez-vous me dire si mon raisonnement tient la route ou s'il est totalement faux ?

Bonne journée.

Posté par
alb12
re : Comparaison de deux proportions 22-05-17 à 08:41

En fait ce test s'appuie sur la loi suivie par la difference de 2 variables normales.
Le risque d'erreur n'est pas le double du risque choisi.
Je dirais donc que ton raisonnement ne tient pas.

Posté par
Plot
re : Comparaison de deux proportions 23-05-17 à 20:21

Bonjour,

J'ai bossé le test dont vous parlez, j'ai trouvé des cours la dessus.
Mais il me semble que le test que vous décrivez et celui que j'ai décrit non sont pas équivalents et donc nous ne pouvons pas comparer les risques d'erreur.

Posté par
Plot
re : Comparaison de deux proportions 23-05-17 à 20:54

Après quelques recherches, la procédure que vous décrivez n'est pas équivalente à celle que je décris.

Posté par
alb12
re : Comparaison de deux proportions 23-05-17 à 21:05

Effectivement dans ton raisonnement le risque n'est pas de 0.05
Où as-tu trouve cette façon de comparer 2 proportions ?

Posté par
Plot
re : Comparaison de deux proportions 23-05-17 à 21:08

Dans le programme de terminale STL.
En ce moment je lis ce papier

Posté par
Plot
re : Comparaison de deux proportions 23-05-17 à 21:12

Mon raisonnement doit être vraiment faux car dans ce papier, la procédure par intervalle de confiance est "moins risquée" que la procédure de test d'hypothèse (risque 5%).
Mais je ne vois pas à quel moment je dis quelque chose de faux.

Posté par
alb12
re : Comparaison de deux proportions 23-05-17 à 21:17

je ne connaissais pas cette methode. Assez peu utilisee me semble-t-il.

Posté par
Plot
re : Comparaison de deux proportions 23-05-17 à 21:29

Même "démonstration" dans le document d'accompagnement
La procédure par intervalle de confiance est plus sévère, donc le risque est inférieur à 5% dans cette procédure.

Posté par
alb12
re : Comparaison de deux proportions 23-05-17 à 21:48

dans un test,
le risque de rejeter une hypothese vraie est une probabilite conditionnelle qui vaut 0.05
le risque d'accepter une hypothese fausse n'est en general pas calculable ce n'est pas 0.95
C'est probablement là ton erreur

Posté par
alb12
re : Comparaison de deux proportions 24-05-17 à 07:36

Quand ils disent "plus severe" cela signifie que le risque est plus eleve
(on rejette plus vite si le risque est plus eleve)
Plus le risque est eleve plus la zone d'acceptation est petite
Cela semble coherent avec ton calcul



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