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Niveau seconde
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Comparaison de nombre

Posté par
pikozie
20-01-21 à 21:31

Bonjour...

Je ne comprends rien dans ce sujet :

1) Soit a, b, c et d quatre nombres réels strictement positifs,

Démontre que:

a)  Si \frac{a}{b}1 alors \frac{a}{b}\frac{a+c}{b+c}

b) Si \frac{a}{b}1 alors \frac{a}{b}\frac{a+c}{b+c}

c) Si \frac{a}{b}\frac{c}{d} alors \frac{a}{b}\frac{a+c}{b+c}\frac{c}{d}

2) Soit a et b des nombres réels tels que a>1 et b>1

a) Démontre que \frac{a²}{a-1}4

b) Déduis en que \frac{a²}{a-1}+\frac{b²}{b-1}8

Merci d'avance

Posté par
Pirho
re : Comparaison de nombre 20-01-21 à 22:11

Bonjour,

a) commence par développer les 2 inégalités

Posté par
pikozie
re : Comparaison de nombre 20-01-21 à 22:19

Je ne vois pas trop comment développer...
Ou reformulation de l'idée pour me permettre d'y vois un peu clair.

Merci

Posté par
Pirho
re : Comparaison de nombre 20-01-21 à 22:24

\dfrac{a}{b}\leq 1 \iff a\leq b

Posté par
pikozie
re : Comparaison de nombre 20-01-21 à 22:29

a+cb+c
\frac{a+c}{b+c}1

??

Posté par
Pirho
re : Comparaison de nombre 20-01-21 à 22:36

je ne comprends pas ce que tu fais

pars de

\dfrac{a}{b}-\dfrac{a+c}{b+c}\leq 0

Posté par
ty59847
re : Comparaison de nombre 20-01-21 à 22:38

On va essayer d'avoir de la méthode.
On va regarder le 1er exercice uniquement.
On nous dit : montrer que  si (.... formule asses simple  avec a et b ...)   alors (... formule un peu plus compliquée avec a,b et c ...)
Ok ?   c'est clair ce que je raconte ou c'est du chinois ?

A partir d'une formule assez simple ,  aboutir à une formuel plus compliquée, avec une variable c en plus, ce n'est pas très habituel.

On peut essayer de démontrer la contraposée, ce sera plus habituel comme exercice, plus simple.
Maintenant, j'espère que tu sais ce que ça veut dire 'la contraposée'.

En d'autres mots, dans un calcul, c'est souvent plus simple de partir d'un truc compliqué pour aller vers un truc simple, que l'inverse.

Posté par
Pirho
re : Comparaison de nombre 20-01-21 à 22:45

bonsoir ty59847

je te laisse poursuivre car je dois bientôt quitter.

je ne crois pas qu'il connaissent la contraposée en 2de d'où la méthode simple que je proposais

Posté par
pikozie
re : Comparaison de nombre 20-01-21 à 22:58

Ben en partant de \frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+c}

J'arrive à \frac{ac-bc}{b(b+c}
...

Posté par
pikozie
re : Comparaison de nombre 20-01-21 à 23:50

Que quelqu'un me vient en aide svp c'est pour demain

Posté par
ty59847
re : Comparaison de nombre 20-01-21 à 23:57

Dans ton dernier calcul,   je ne comprends pas ce que tu fais. Peut-^tre qu'il manque des symboles  \le ..   mais il y a des signes moins qui sont apparus... et je ne vois pas d'où.



En partant de a/b \le (a+c)/(b+c) , quelles méthodes connais tu pour te débarasser de ces fractions...

Posté par
pikozie
re : Comparaison de nombre 21-01-21 à 00:15

Je ne vois pas comment me débarrasser des fractions

Posté par
ty59847
re : Comparaison de nombre 21-01-21 à 00:17

Mais attention,  tu peux partir de a/b \le (a+c)/(b+c), et faire différents calculs, c'est utile au brouillon, pour voir quels sont les calculs qui marchent bien.

Mais pas question de recopier les calculs tels quels sur ta copie.  

On ne demande pas de montrer que si a/b \le (a+c)/(b+c) alors a/b \le 1, on demande de montrer que si  a/b \le 1 alors  a/b \le (a+c)/(b+c)

Posté par
ty59847
re : Comparaison de nombre 21-01-21 à 00:27

Pour se débarasser des dénominateurs, on multipie par les dénominateurs . Et on a le droit de le faire parce que les dénominateurs sont positifs (tu es d'accord avec ça ou pas ?)

a/b \le (a+c)/(b+c),   c'est strictement équivalent à   ... la même chose en multipliant les 2 nombres par b.
Et c'est aussi strictement équivalent à la même chose en multipliant les 2 nombres par (b+c).

Peut-être que tu connais tout ça sous le nom de 'produit en croix'

a/b \le (a+c)/(b+c) \iff  a(b+c) \le b(a+c)

J'ai tout multiplié par b(b+c) , et les fractions se simplifient.  Et rappel, on peut le faire parce que b(b+c) est strictment positif , attention !   Il faut bien le rappeler sur ta copie.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Comparaison de nombre 21-01-21 à 07:55

Bonjour,
Je me permets de reprendre ce message pour l'expliquer et proposer de l'exploiter:

pikozie @ 20-01-2021 à 22:58

Ben en partant de \frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+c}

J'arrive à \frac{ac-bc}{b(b+c}
...
Le calcul y est exact et permet de traiter a) et b).

En posant \; E = \dfrac{a}{b} -\dfrac{a+c}{b+c} , on a bien \; E = \dfrac{ac-bc}{b(b+c)} .

D'où \; E = \dfrac{c(a-b)}{b(b+c)} .
On peut en déduire le signe de E selon que a < b ou a > b .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Comparaison de nombre 21-01-21 à 08:08

Il me semble qu'il y a une coquille dans c).
C'est \; b+d \; au lieu de \; b+c \; au dénominateur dans \; \dfrac{a}{b} \leq  \dfrac{a+c}{b+c} \leq  \dfrac{c}{d}

Posté par
Pirho
re : Comparaison de nombre 21-01-21 à 08:47

Bonjour Sylvieg,

effectivement la réponse de pikozie était correcte (en ajoutant le signe d'inégalité et la parenthèse fermante)

quant au c) je n'avais pas regardé mais je crois aussi qu'il y a une erreur

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Comparaison de nombre 21-01-21 à 09:10

Le signe d'inégalité n'est pas nécessaire pour faire le calcul de la différence.
C'est une méthode qui permet de comparer deux réels quand on ne sait pas quoi faire, même si le sens de l'inégalité n'est pas connu à l'avance :
Pour comparer deux réels A et B, transformer la différence B-A dans le but de déterminer son signe.

Posté par
Pirho
re : Comparaison de nombre 21-01-21 à 09:18

Sylvieg merci pour cette piqure de rappel; j'oublie toujours et pourtant tu le rappelles souvent

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Comparaison de nombre 21-01-21 à 09:20

C'est vrai que c'est un de mes "dadas"

Posté par
carpediem
re : Comparaison de nombre 21-01-21 à 11:43

salut

oui je rejoins Sylvieg :

pour comparer deux nombres et sans aucune information ou propriété "qui saute aux yeux" la "quasiment" seule méthode restante est l'étude du signe de leur différence ...

en particulier pour montrer l'inégalité a < b on ne part jamais de cette inégalité .... sauf sur son brouillon !! éventuellement


on peut remarquer qu'on a le résultat plus précis :

pikozie @ 20-01-2021 à 21:31

1) Soit a, b, c et d quatre nombres réels strictement positifs,

Démontre que:

a)  Si \dfrac{a}{b} \le 1 alors \dfrac{a}{b} \le \dfrac{a+c}{b+c} \red \le 1

b) Si \dfrac{a}{b} \ge 1 alors \dfrac{a}{b} \ge \dfrac{a+c}{b+c} \red \ge 1

c) Si \dfrac{a}{b} \le \dfrac{c}{d} alors \dfrac{a}{b} \le \dfrac{a+c}{b+d} \le \dfrac{c}{d}


et que donc a/ et b/ sont des cas particuliers de c/ lorsque c = d (ou a = b)

c/ est elle-même un cas particulier de :   Si \dfrac{a}{b} \le \dfrac{c}{d} alors pour tous réels u et v strictement positifs \dfrac{a}{b} \le \dfrac{ua+vc}{ub+vd} \le \dfrac{c}{d}



un exercice que je donne assez régulièrement en première et terminale ... et qu'ils ont beaucoup de mal à résoudre ...

Posté par
pikozie
re : Comparaison de nombre 21-01-21 à 12:09

La question est de montrer que si \frac{a}{b}1 alors \frac{a}{b} \frac{a+c}{b+c}

Mais il me semble que justifier que A-B<0 reviens à A<B

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Comparaison de nombre 21-01-21 à 14:10

Traiter avec \; \; au lieu de \; < \; ne change rien.
Sauf que c'est plus facile à écrire

Ce que je propose pour a) et b) :
Ne rien supposer au départ comme inégalité.
Transformer \; \; E = \dfrac{a}{b} -\dfrac{a+c}{b+c} .
Une fois trouvé \; E = \dfrac{c(a-b)}{b(b+c)} , séparer a) et b).

Tu as raison pour

Citation :
justifier que A-B < 0 revient à A < B

Posté par
pikozie
re : Comparaison de nombre 21-01-21 à 14:20

Ah je vois quelque chose à travers l'explication de Sylvieg :

\frac{a}{b}1 ab (1)

\frac{a}{b}\frac{a+c}{b+c} \frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+c}0 \frac{c(a-b)}{b(b+c}0 comme b(b+c)0 on a c(a-b)0 a-b0 ab (2)

D'après (1) et (2), si \frac{a}{b}1 alors \frac{a}{b}\frac{a+c}{b+c}

Posté par
pikozie
re : Comparaison de nombre 30-01-21 à 17:48

Bonjour à tous...

J'aimerais bien que quelqu'un m'aide pour la suite

Posté par
Pirho
re : Comparaison de nombre 30-01-21 à 17:58

4 a tout dans le 1er membre

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Comparaison de nombre 30-01-21 à 18:21

Vas-tu confirmer un jour la coquille signalée le 21 à 8h08 ?

De quelle suite parles-tu ?
Nous ne savons pas où tu en es.
Nous t'avons indiqué une méthode qui est d'étudier le signe d'une différence.
Précise la question que tu veux chercher et recopie le calcul de la différence correspondante.

Posté par
pikozie
re : Comparaison de nombre 30-01-21 à 21:53

Oui c'est bien \frac{a+c}b+<font class='rouge'>d</font>}

Posté par
pikozie
re : Comparaison de nombre 30-01-21 à 22:01

Je veux dire \frac{a+c}{b+d}



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