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complété "à isométrie près"
Bonsoir à vous 
Théorème : "Tout espace métrique possède un complété. Le complété est unique à isométrie près".
Je ne comprend pas ce que signifie la deuxième phrase : "Le complété est unique à isométrie près".
Pouvez-vous me m'éclairer sur ce point ?
Concernant la preuve :
Soit (X,d) un espace métrique, X
.
On fixe a
X.
On pose 
: (X,d)
(CB(X,
),||.||
)
x
x : X
y d(x,y)-d(a,y)
et on montre que est une application isométrique.
Ainsi,( Adh((X)),d) est bien un complété de (X,d).
En effet, Adh((X)) est un fermé de (CB(X,),||.||) qui est complet car (, |.|) est complet.
Dans la suite de la preuve :
On prend deux complétés de (X,d) notés (X1,d1), (X2,d2), puis on montre en utilisant le prolongement des applications uniforméments continues, qu'il existe une unique isométrie (application isométrique et bijective) 
: (X1,d1)(X2,d2).
Bonsoir AnneDu60.
Je ne comprends pas bien où est ton soucis puisque tu réponds toi même à ta question.
Un ensemble muni d'une structure uniforme possède des complétés.
S'il s'agit d'espaces métriques (ce sont des espaces uniformes particuliers), on a donc des complétés et deux complétés d'un métrique sont isométriques et donc on dit, par définition, que le complété d'un métrique est unique à isométrie près.
Dans le même style on l'existence, à isomorphisme près, d'un unique corps totalement ordonné, archimédien et possédant la propriété de la borne supérieur. Cela ne signifie pas qu'il y a un unique corps qui possède ces propriétés mais que deux corps possédants lesdites propriétés sont isomorphes.
Je me rappelle d'un de tes post précédents sur ce sujet où tu avais déjà du mal avec cette notion (il était question d'un morphisme i d'un corps K dans une extension (donc morphisme injectif) et où l'on identifiait K avec i(K))
Bonjour à vous
Vous avez dit :" S'il s'agit d'espaces métriques, on a donc des complétés et deux complétés d'un métrique sont isométriques".
Mais deux espaces métriques (X1,d1) et (X2,d2) sont isométriques 
il existe : (X1,d1) (X2,d2) qui est une application isométrique (ie : préserve les distances)
ou bien : (X1,d1) et (X2,d2) sont isométriques il existe : (X1,d1) (X2,d2) qui est une isométrie (i.e : qui préserve les distances et est bijective) ?
Soit A un anneau commutatif, unitaire et principal.
Soient a,bA.
On pose I={au+bv | u,vA}
Alors il existe dA, I= d.A
On dit que d est un PGCD de a et b.
On sait que pour tout 
Ax, I=(d).A
Ainsi le PGCD de a et b est défini "à inversible près".
Cette dernière phrase signifie donc qu'un PGCD de a et b est toujours de la forme d avec Ax.
C'est pas la même mécanique que la phrase "à isométrie près" ou "isomorphisme près".
Puisque, par exemple, dans le premier cas : on prend deux espaces métriques (X1,d1), (X2,d2) et on montre que X2=(X1) où : (X1,d1)(X2,d2) une isométrie (donc bijective).
Mais en regardant de plus près, je pense que les deux phrases ("à inversible près" et "à isométrie près") sont liées par le fait que si on prend deux elements e1 et e2 qui vérifie la propriété alors e2 est le produit (dans le premier cas le produit de la loi multiplicative qu'on pose sur A et dans le second cas la composition de X1 par notée (X1)) d'un objet (dans le premier cas un inversible dans A et dans le second une isométrie) par e1
En fait, se cache derrière ces termes, toute la théorie des morphismes et des isomorphismes ainsi que celle, plus générale des structures.
Hélas ! Ce chapitre sur les structures, qui est un chapitre important, et long, ne s'enseigne plus.
Mais deux espaces métriques (X1,d1) et (X2,d2) sont isométriques
il existe : (X1,d1) (X2,d2) qui est une application isométrique (ie : préserve les distances)
ou bien : (X1,d1) et (X2,d2) sont isométriques
il existe : (X1,d1) (X2,d2) qui est une isométrie (i.e : qui préserve les distances et est bijective) ?Le second.
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