Bonsoir à tous,

Cela faisait un bon moment que je n'avais pas demandé de l'aide sur une question d'exercice d'application de cours...
En fait le souci est que je ne suis pas sûr à 100% de ma réponse, et je voulais alors avoir une simple confirmation. En plus cela m'éclairerait sur un léger point de mon cours, que ma réponse soit correcte ou non.

Voici l'énoncé de la question :
Soient p un entier ≥ 1, et n un entier ≥ 2. Soit E un 𝕂-e.v tel que dim(E) = n. Déterminer, en justifiant avec un contre-exemple ou avec le cours, si la proposition suivante est vraie ou fausse :
Toute famille libre de p vecteurs de E se complète uniquement par une famille de n-p vecteurs de E en une base de E

Au début, j'ai voulu répondre vrai en justifiant par la conséquence du théorème de la base incomplète, puis le théorème de la dimension.
Finalement j'ai répondu faux avec un contre-exemple, mais en fait je ne sais pas si mon idée "fonctionne" :
On pose E = ℝ³, d'où dim(E) = 3
Soient u₁, u₂ et u₃ trois vecteurs non nuls de ℝ³ tels que (u₁, u₂) est une famille libre dans ℝ³ et u₃∉Vect(u₁, u₂)
Pourtant, (u₁, u₂)∪(u₂, u₃) = (u₁, u₂, u₃) est une base de ℝ³
Une famille libre de 2 vecteurs de ℝ³ peut ainsi se compléter par une famille de 2 ≠ 3-2 vecteurs de ℝ³ en une base de ℝ³
Donc la proposition est fausse.

En fait, je ne sais pas si je peux compléter une famille libre de vecteurs par une autre famille contenant des vecteurs communs en une base telle que j'en ai donné un exemple ci-dessus.
Merci d'avance