Bonjour, Pythix.

Voici les deux idées à mettre en oeuvre:

1) Toute fonction continue sur un compact est bornée.

2) Toute limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue.

je ne vois pas trop pour le 2)

Pour montrer que C(X,Y) est une partie fermée de B(X,Y), il suffit de montrer que toute suite (f_n) d'éléments de C(X,Y) qui converge vers un élément f de B(x,y) vérifie: f appartient à C(X,Y).

Soit donc (f_n) une suite d'éléments de C(X,Y) qui converge vers f dans B(X,Y). "(f_n) converge vers f dans B(X,Y)" signifie en fait: (f_n) converge uniformément vers f sur X.

Comme toutes les fonctions f_n sont continues, et comme la suite (f_n) converge uniformément vers f, alors, f est continue. f est donc dans C(X,Y).
Terminé.

en fait je n'ai pas vu en cours que
Toute limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue.

Tu dois donc le démontrer.
Besoin d'une indication ?

euh, en fait j'ai essayé dès votre premier poste... une aide serait la bienvenue! merci

Soit dans X.
Soit

On dispose d'un entier N tel que:


N étant fixé, on dispose d'un voisinage V de tel que:


On a alors:


Ce qui prouve que f est continue en