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complexe

Posté par colleoptere8787 (invité) 02-11-04 à 13:27

On se propose de déterminer les polynomes P(z)=z^4+az^3+bz²+cz+d, à coefficients réels possédant 4racines complexes de module 1
1-Montrer que, si z est une racine complexe de P, alors le conjugué de z est aussi une racine de P. En déduire que le polynome P se factorise en :
P(z)=(z²-2z cos U + 1)(z²-2z cos V +1) où U et V sont réels et que nécessairement d=1,a=c et le module de a et inférieur ou égal à 4.

cette question la je l'ai trouvé

2-On considère donc P(z)=z^4+az^3+bz²+az+1 , a et b réels et module de a inférieur ou égal à 4

Montrer que P se factorise sous la forme(??) ci-dessus si et suelement si cos U et cos V sont racines du trinome f(X)=X²+(a/2)X+(b-2)/4

En déduire ensuite que a et b vérifient les conditions (C) : 2a+b+2 superieur ou égal a 0
      -2a+b+2 superieur ou égal a 0
      a²-4b+8 superieur ou égal a 0
(on utilisera les reusltats sur le trinome)
Les conditions (C) sont-elles suffisantes pour que P ait 4racines complexes de module 1?

merci d'avance si quelqu'un peut m'aider

Posté par Graubill (invité)re : complexe 02-11-04 à 14:09

P(z)=(z²-2z cos U + 1)(z²-2z cos V +1)

tu developpes:

z^4-2z^3(cosU + cosV)+z²(2+4cosU*cosV)-2z(cosU+cosV)+1
comme P(z)=z^4+az^3+bz²+az+1

a=-2(cosU+cosV)
b=(2+4cosU*cosV)

cosU+cosV=-a/2
cosU*cosV=(b-2)/4


soit cosU²+(a/2)cosU+(b-2)/4 et cosV²+(a/2)cosV+(b-2)/4



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