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Complexe
Bonjour. Pouvez vous m'aider à résoudre ces quelque s questions car j'ai été abscent et je n'arrive pas à résoudre cet exercice.
Merci d'avance pour votre aide.
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct (O ; u ; v) (unité graphique : 3cm). A est le point d'affixe i. A tout point M du plan, distinct de A, d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' définit par :
z' = z² / (i - z)
1. Précisez l'ensemble des points M confondus avec leur image M'.
2. z est un complexe distinct de i. On pose :
z = x + iy et z'= x' + iy' avec x, y, x', y' réels.
Prouvez que x' = [-x(x² + y² - 2y)] / [(x² + (1 - y)²].
Déduisez-en l'ensemble C des points M tels que M' est sur l'axe des imaginaires purs. Tracez C.
3. Trouvez une relation liant OM, AM et OM'. Déduisez-en l'ensemble F des points M tels que M et M' soient sur un même cercle centré en O. Tracer F.
4. Dans toute cette question, le point M, d'affixe z est sur le cercle de centre A de rayon 1/2.
M' est le point d'affixe z' correspondant, et G l'isobarycentre des points A, M et M'.
a) Calculez l'affixe zg de G en fonction de z.
b) Prouvez que le point G est situé sur un cercle de centre O dont vous préciserez le rayon.
Je fais le début.
1.
M d'affixe z est confondu avec M' d'affixe z' si z = z'.
-> z = z²/(i-z)
donc z = 0 convient.
Si z est différent de 0, alors: 1 = z/(i-z)
z = i-z
2z = i
z = i/2
Les 2 points qui conviennent on pour affixe: z = 0 oiur l'un et z = i/2 pour la'utre
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2)
z' = z² / (i - z)
z' = (x+iy)² / (i - (x+iy))
z' = (x²-y²+2ixy)/(-x + i(1-y))
z' = (x²-y²+2ixy)(-x - i(1-y))/[(-x + i(1-y))(-x - i(1-y))]
z' = (-x³+xy²-2ix²y -ix²+iy²+2xy +ix²y-iy³-2xy²)/[x²+ (1-y)²]
z' = (-x³-xy²-ix²y -ix²+iy²+2xy-iy³)/[x²+ (1-y)²]
z' = [(-x³-xy²+2xy) + i(-y³+y²-x²-x²y)]/[x²+ (1-y)²]
On identifie avec z' = x' + iy' ->
x' = (-x³-xy²+2xy)/[x²+ (1-y)²]
x' = -x(x²+y²-2y)/[x²+ (1-y)²]
M' est sur l'axe des imaginaires si la partie réelle de z' = 0, donc si x'=0
-> pour x=0 et pour x²+y²-2y = 0
x = 0 correspond à l'axe des imaginaires (dont il faut exclure de point d'affixe z = i qui est interdit).
x²+y²-2y = 0
x² + (y-1)² = 1
Soit le cercle de centre (0 ; 1) et de rayon 1.
L'ensemble C est donc constitué du cercle de centre (0 ; 1) et de rayon 1 et de l'axe des imaginaires à l'exclusion du point d'affixe z = i.
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Vérifie mes calculs avant de continuer. 
bonjour !
je veux bien prendre la suite 
3/ OM=|z| AM=|i-z| OM'=|z²|/|i-z|
on en conclut la relation AM*OM'=OM² (que l'on peut tourner dans tous les sens)
or on a F tel que OM'=OM (M et M' sur un même cercle) et si OM'=OM alors AM=OM et on en conclut que l'ensemble F des points M est la droite D médiatrice de [OA].
4/ M 
C(a;1/2)
a/ zg=(zA+z+zM')/3
après simplifications :
zG=-1/3(i-z)
or |zG|=1/3AM
or AM=1/2
donc |zG|=OG=2/3 on en conclut que quel que soit G, G appartient à C'(o;2/3)
J'espère qsueje n'ai pas fait de fautes ...
Bon courage
Zineb
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