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complexe
Bonjour à vous,
alors :
Le plan muni d'un repère orthonormal direct (O,u,v), d'unité graphique 3cm. A est le point d'affixe i. A tout point M du plan, distinct de A, d'affixe z, on asssocie le point M' d'affixe z' défini par : z'=z2/(i-z).
1) Préciser l'ensemble des points invariants.
2) Pour tout z
-{i}, on pose z=x+iy et z'=x'+iy', avec x,y,x'et y' nombres réels.
Exprimer x' et y' en fonction de x et de y. En déduire l'ensemble E des points M du plan tels que M' est un point de l'axe des imaginaires purs.
3) Trouver une relation liant OM,AM et OM'. En déduir l'ensemble F des points M tels que M et M' appartiennent à un même cercle centré en O.
4) Dans toute cette question, le point M d'affixe z appartient au cercle de centre A et de rayon 1/2.
M' est le point d'affixe z' correspondant et G est l'isobarycentre des points A,M et M'.
a. Calculer l'affixe zG du point G en fonction de z.
b. Démontrer que le point G appartient à un cercle de centre O dont on précisera le rayon.
c. Après avoir comparé les angles (
,OG) et (,AM), effectuer la construction de G et en déduire celle de M'.
voilà et merci
salut
1) ensemble des points invariants ?
ils verifient z=z^2/(i-z), z different de i.
donc z-z^2/(i-z)=0
donc [z*(i-z)-z^2]/(i-z)=0
donc z*(i-2z)/(i-z)=0
conclusion z=z^2/(i-z) <=> z=0 ou z=i/2.
les points invariants sont A1 d'affixe 0 et A2 d'affixe i/2.
2) il suffit de se laisser guider par la question :
z'=x'+iy'
z=x+iy
z'=z^2/(i-z)=[x+iy]^2/[-x+i*(1-y)]
z'=(x+iy)^2*[-x-i*(1-y)]/[x^2+(1-y)^2]
z'=-[x^2-y^2+2*i*x*y]*[x+i*(1-y)]/[x^2+(1-y)^2]
z'=-{x^3-y^2*x-2*x*y*(1-y)+i*[2x^2*y+(x^2-y^2)*(1-y)]}/[x^2+(1-y)^2]
comme z'=x'+i*y'
on a x'=-{{x^3-y^2*x-2*x*y*(1-y)}/[x^2+(1-y)^2]
et y'=-[2x^2*y+(x^2-y^2)*(1-y)]/[x^2+(1-y)^2]
z' imaginaire pur alors x'=0.
donc x'=-{{x^3-y^2*x-2*x*y*(1-y)}=0
donc x^3-y^2*x-2*x*y*(1-y)=0
x*(x^2-y^2-2*y*(1-y))=0
or x^2-y^2-2*y*(1-y)=x^2-2y+y^2=x^2+(y-1)^2-1
x'=0 <=> x*(x^2+(y-1)^2-1)=0 <=> x=0 ou x^2+(y-1)^2=1
donc l'ensemble E est {M, z imaginaire pur} union cercle de centre A et de rayon 1.
OM=|z|
AM =|z-i|=|i-z|
OM'=|z'|
or z'=z^2/(i-z)
donc |z'|=|z|^2/|i-z|
donc OM'=OM^2/AM
si M et M' sont sur un meme cercle de centre O alors OM=OM'.on suppose que ce cercle a un rayon different de 0 donc OM different de 0.(si OM=0 alors O=M=M')
donc 1=OM/AM.
donc M est sur la mediatrice de [OA].
4a) G isobarycentre alors zG=(zA+zM+zM')/3
donc zG=[i+z+z^2/(i-z)]/3
donc zG=[-1-z^2+z^2]/[3*(i-z)]
zG=-1/(3*(i-z))
b) M est sur ce cercle de centre A et de rayon 1/2
=> AM=1/2 donc |i-z|=1/2
donc OG=|zG|=1/[3*|i-z|]=2/3.
donc G est sur cercle de centre 0 et de rayon 2/3.
c) (u,OG)=arg[-1/(3*(i-z))] [2Pi]=arg(-1)-arg(3)-arg(i-z) [2Pi]=Pi-(u,MA) [2pi]
(u,OG)=(u,AM).
constructions.
soit le cercle de centre A et de rayon 1/2.
M est place dessus.
on trace [A,M).
puis on trace la demi droite d'origine O parallele a [AM) appelons la d.
puis le cercle de centre 0 et de rayon 2/3.
d et ce cercle se coupent en 1 point qui est le point G.
G est isobarycentre de A M et M'
donc vecteur(GA)+vecteur(GM)+vecteur(GM')=vecteur(0).
donc vecteur(GM')=-vecteur(GA)-vecteur(GM).
a+
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